III I . , , V

(.■.>-•>.) -H h --+-... H = o (modo),

ce qui donnera, en vertu de (21), le résultat bien connu

(•^3) X:(2) = - -H - -+- - -t-. . .H — - (mod/j),

de sorte que nous aurons, en appliquant les congruenees (i i), (i5) et (17), les résultats suivants :

(?.4) \V,,^A(2) (mod/>), ^\;,^■2A(•>.) (mody/),

(25) 2 (-i>^"A(5) = o (mody^).

Posons enfin /> = 2m + i, nous aurons de plus, en vertu de la congruence (9) du paragraphe LXXXIX, h ' ^^^

(16) w;,s(-i)'"-i-jiT„, (m.d/O, (/y = 2m-+-i),

ou, ce cpii est la même chose,

(27) ~k';-\^-(-\y"~'i'\:„, (modp).

de sorte que nous aurons, en vertu de la congruence (\6) du para- /, 2^^ graphe LXXI, le résultat curieux '

(.8) iA/-.^iA/;:} (mod/,;.

XCI. — Expressions explicites de seconde espèce. Revenons maintenant à la forjuule de Bernoulli

Sîni^t — 0 = ^- 7 ' ^ ( Fî ,•«/-'■%

où p = 2n -}- 1 est un nombre premier, puis appliquons la définilion

du qiiotienl de Fermât et l.i congruence évidente

nous aurons, après une réduction simple,

(,) A(rt)=- — -i-(-i)''13„— --M+ y '- -1 ^^ (mrul/O.

'2. et t} j^B !2 S

l -j/in ^ Appliquons ensuite la congruence (6) du paragraphe 1^X\ ill,

savoir

— --+--+(—!)"-' B„= y ^~^^'"'''-^" (mod/>). il résulte finalement

cette congruence, nouvelle je le crois, est entièrement différente de-la formule (20) du paragraphe précédent.

Soit particulièrement a = 2, la formule (2) donnera, en vertu de la congruence (21 ) du paragraphe précédent,

congruence que je n'ai pas réussi à démontrer directement.

Remarquons que la formule (i) se présente aussi dans cette autre forme :

(4) k{a)^-—-\\\^ 2j ^ -^ {nxoAp),

où W^ est le quotient de Wilson, il résulte, jiour a = 2,

Etudions maintenant à un autre point de vue le problème qui nous occupe ici.

rHVP. \1X. — LKS QLOTIKNTS DK FERMAT, ÎGj

A cel effel, nous prenons pour point de départ la formule ( i) du L SS O paragraphe LXXX, savoir

Lo,, ,(a-4-l) — (a/'-' — i)

= c/,rt/'-ï+ c;,«/^-3+...4-c;;-2a-i-[i-+-(/) — I)!],

j que nous écrivons sous la forme

p. W/,-i(« -h i) — p /.(a) = Cj,a/'-^-h Cj,a/'-^-r-. . .-H C',',-^a -hpW,,;

? posons ensuite, dans cette formule, successivement,

puis ajoutons toutes les équations ainsi obtenues; il résulte

<7» -Jfw/,(/v)— /':j-/?K/.= 2 c;;s,„-,.(/j — i)-+-y>(^ — i)W/„

où nous avons posé, pour abréger,

Or, en introduisant, successivemenl dans (4), les valeurs (f)), on aura, en ajoutant toutes les formules ainsi obtenues,

(9) W/,= Kp (mody>),

savoir la formule (12) du paragraphe XC /'

Gela posé, remarquons que la formule (7) s'écrira aussi sous cette autre forme :

nous aurons

1(\\,,-K„)^M,,^± 2 C;;S,„,(/;-i) (mod/>). ou, ce qui est la même chose,

i(\\>-K/,)-W;.-+-p 2 CJ,'S,,,,.(p-x) (mm]p);

appliquons ensuite les congruences inodulo/>

lcf,' = ^-^ïll^, is;/'-2'(/>-i)s(-i)«-'-'B,,

p ' ir p ' ^ / \ / Il

il résulte finalement

(lo) i.(W/,-K,.)^\V/.-f-(-.)« 2 ^^"^ {moàp).

Revenons maintenant à la congruence (2), elle se- rattache évidemment à un problème proposé par Abel (' ) :

Le nombre aP~^ — i peut-il être divisible par p-^ p étant un nombre premier et a un entier moindre que p et plus grand que V unité?

On sait que Jacobi (-) a communiqué des solutions du problème susdit, par exemple,

/j = 1 1 , rt = 3, a = 9, /j = 29, a = 14, y> = 37, a = 18.

Quant au problème général, nous aurons la proposition suivante :

I. La condition suffisante et nécessaire pour V existence de la congruence

(11) aP-'sîi {moà])"^),

où p est un nombre prem,ier qui ne divise pas «, est représentée par cette autre congruence :

(12) ill^ SH y (Hilfli!!! ( «2/7-2. i) {moAp).

Cj Journal de Crelle, t. 3, 1828, p. 212; Œuvres, l. I, p. 619.

(-) Journal de Crelle , l. 3, j^7^, p. 3oi-3o2; Werke, t. VI, p. 238-23().

ClIAP. XIX. — LES QUOTIENTS DE FERMAT. 307

XCII. — Détermination des sommes diverses Posons dans la formule (I) a^'A-(a)="" ^" — a" (p^i,n-^\),

non négatif, successi> a = I, 2, 3, . . .,/? — I, puis ajoutons toutes les équations ainsi obtenues, nous aurons

Soit tout d'abord n = o, nous aurons la congruence, déjà trouvée <lans le paragraphe précédent,

(3) 2 A(r)^(-i)'«-iB,„+i-i (mod/>), tandis que l'hypothèse n = i donnera de même

(4) 2 '■^"('■)^^ (mod/>);

ces deux congruences sont dues à M. Lerch ( ' ).

Soit maintenant, dans (2), n un nombre pair, nous remplaçons /i par 2«, ce qui donnera, en vertu de la formule (11) du para- r ' 1} graphe LXVII,

(5) y ,.v. /,(,.) ^^-0"^" {^x^oAp).

^ in '

Remplaçons, au contraire, dans (2), ii j)ar a/i-f-i, il résulte

(G) y /•«"+' A (r) = o (mod/0;

(') Matheinalische Annalen, f. 00, lyoô, p. 477-

3G8 TROISIÈMIÎ PARTIK. — APPLICATIONS SUR LA THÉORIK DKS NOMBUtS.

'7'IX appliquons ensuite de nouveau la congruence (ii) du parap' ' graphe LXYII, un calcul simple donnera

(7) '- 2 ,.î«+i/,(r)^(-i/'l?„ {moûp).

C'est un fait digne d'attention, ce nie semble, que les seconds membres des formules (5) et (7) sont indépendants du nombre premier p.

llevenons maintenant à la formule (i), nous aurons de même

Or, Tin+zn (p — i) n'étant pas généralement divisible par p, nous nous bornerons à l'élude du cas où n est un nomliie pair, et nous remplaçons 71 par 2/1, de sorte que nous avons à appliquer la fork,^*\'t- • mule (10) du paragraplieiQP^lII, due à Euler,

Soit tout d'abord n = o, nous aurons à poser

«^oC/? — i) = o, ce qui donnera

OU, ce qui est la même chose,

(II) 2 {-iYk{r)^k{i) {moAp),

de sorte que nous aurons une nouvelle démonstration de la foi .'3^'^ ■ mule (25) du paragraphe XC, sa

avoir

2 (-1)'- /.■(/■) = 0 (mod/>).

CHAP. XIX. — I.KS QUOriKISTS 1)K PEKMAT. iO*)

Quant à la formule générale (8), posons, dans la congruence (i) h • J <lii |)aiii;;raplie LWJ, /■ = i , il résulte, en vertu de (9),

,--p-\ (i3) 2 (-')'>'-"/>•(/•) ^^~']I^''^" (mody,);

c'est une chose digne de remarque, ce me semble, que le second

membre de cette congruence esl indépendant du nombre premier^.

Etudions maintenant des sommes contenant les symboles de

Legendre :

P nous aiii'ons tout d'abord

«" ( -l/i(a);3 (mod/>),

ce qui donnera

Soit, en premier lieu, n -|- ni un nombre pair, savoir n H- m — 2 /•, il résulte, en vertu de la congruence (i i) du paragraphe LXV^If,

ti = p—

rt = 1

posons particulièrement // = o, ce qui donnera m = 2r^ p=:^ ^r-{- i , nous aurons, en remplaçaqit r par m ,

6) 2 (-)^'(«) = (— i)"'-'2Bm (mod/)); (/> = 4m-+-i);

cette congruence particulière est due à M. Lerch ('). (') Mathematische Annalen, t. GO, 190"), p. 480.

MEI.S MRLSEN 2'l

3y'o TROISIÈME PARTIE. — APPLICVTIONS SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.

Soit, en second lieu, Ji-\-m un nombre impair, savoir

la formule (i4) donnera

rt=p—i (17) 2 a"^|j/c(rt) = o (modp).

Appliquons maintenant la congruence (10) du para- A. v-'j • graphe LXXXIX, nous aurons

rt=/j — 1

V a''(-\ k(a)= 4S-2r+2/n+i(/? — l) — 3 S>ir+i(p — l) — Si,.+;,n~l(P " 0

(modp), ce qui donnera, en vertu des congruences

B,-4-2/« = (— 0'" 2 B,+,„ — B,, ( modp), (-i)'"B„,+«^^^^B„ (modp),

tirées directement des formules générales ('j) el (9) du para- A Ul . graphe LX VIII,

Posons «==0, ce qui donnera m = 2r-^-^, p == i^r -{- 3, nous aurons, en remplaçant /' par m,

'^'9) j 2 (^)^(^)^ -"f"'"'^"' .(mod^); (/> = 4mH-3).

Nous aurons de même

ClIAP. XIX. — LES QUOTIENTS DE FERMAT. Syi

ce qui donnera, en vertu de la congruence (i) du paragraphe LXVI, pourvu que /i -f- m =: 2/-,

Soit particulièrement n = o, ce qui donnera m = 2r, /> = 4 '* + 1 ? nous aurons, en remplaçant /• par m,

(>.n 2 (,)a(^^^^/,(a)^T„, (modyo); (;,= 4mH-i).