XCIII. — Nombres des résidus dans un intervalle donné
Soit /?== 2/71 + 1 un nombre premier impair quelconque, Je positif entier a, plus petit que p, est dit « résidu quadratique de j) ». pourvu que la congruence
(i) x-s= f( (ii)ocly>)
ait des racines. Or, remarquous qu'un nombre carré quelconcpic non divisible par p donnera le même reste modulo p que donnera un des nombres
il existe évidemment précisément m résidus ([uadratique de p. Appliquons la définition (i), il résulte
(-2) a'" ^ x^'"^^ i {modp),
de sorte que nous aurons, dans ce cas, en appliquant le svmbole de Legendre,
Supposons, au contraire, que la congruence (i) n'admette pas des racines^ nous aurons par conséquent (4) «"» = — 1 (mocly;)
ou, ce qui est la même chose,
dans ce cas, a est dit « non-résidu de p ».
CHAI'. XIX. — LES QUOTIENTS liK FERNAT. 373
Soil maintenant a un positif entier plus petit que />, nous désignons par K(rt) le nombre des résidus quadratiques de p qui se trouvent parmi les nombres
tandis que !(«) est le nouibre des non-résidiis trouvés parmi les mêmes nombres.
Cela posé, nous aurons évidemment
laiidis (jue les eongruences (2) et (4) donnent
(S) R(rt) — I(rt) = S,„(a) (iuo(J/>).
Ap[)liquons maintenant les formules bien connues
S„(aj = /t! [!{„+,(«)- li„+.,(o)I,
OÙ X et a sont des variables complexes quelconcjues. nous aurons,
en introduisant
puis posant
(9,1 nq-\-r=p,
cette autre représentation de la somme de |)uissances S,j(rt)
.Soit ensuite, dans (10), p un nombre premier impair, tandis que q et /• désignent des entiers non négatifs, le théorème de von Slaudt et de Th. Ciausen donnera la congruence
1) S„(a) = ni ]^\n^x (- -^ - H„+,(o)] (mod/>),
où il faut supposer \'^n^p — 3.
Gela posé, nous aurons immédiatement, en vertu de (8), le théorème :
T. Soit p := 2ni -^\ un nombre premier impair quel conque ^ et soit
aq -\- r = p,
les définitions susdites de R(a) et \{a) donnent
{vx) K{a)-\{a)^m\\\\,„+A--\-\i„,+^{o)\ (mod/>).
Désignons ensuite par «, un autre entier tel que a <^ a, ^p — i y. puis posons
il est évident qu'on pourrait, en vertu du théorème susdit, déterminer les nombres des résidus ou des non-résidus parmi les nombres
rt -t- I, « H- '.i, . . ., «1.
Dans ce qui suit, nous ne donnons que les applications (|ui permettent de déterminer, en vertu des formules numériquc.sdéduites dans le paragraphe X\ f, sous forme simple le second membre de (12).
Première application : r z= q = \ , ce qui donnera a =^ j) — 1 ..
— Nous aurons le résultat évident
Deuxième application : q = 2, /• = i , ce qui donnera a = m.
— Nous avons à considérer séparément les deux cas suivants :
i" /// est un nombre pair, savoir ;«== 2/i, ce qui donnera yO=:4/i4-J r nous aurons le résultat évident
(i4) \\('in)=l(in) = n.
2° Soit, au contraire, m un nombre impair, savoir //? = 2 /i -h 1 ;, ce qui donnera p^=- l\n +3, nous aurons
ou, ce qui est la même chose,
(iG) R(.^„-,-,)[(2,t + i)= ^ iL__ii!±i (niod/O-
CHAP. XX. — DES «ÉSIDUS QUADRATIQCES. 375
Appliquons ensuite l'égalité
nous aurons pour n pair, savoir/? = Sm + S, (17) R(4/n -+-I)— I(4//j -+-!)= — 6B2,„4., {moAp),
tardis que l'hypothèse p = Sm -i- '- donnera de même <i8) R(4m-+-3)— I(4m-i-3) = 2Bî,„+, (mod/>).
Ces deux résultats sont dus à Cauchj (' ).
Troisième application : q = /\, — Nous aurons à étudier sépal'ément les deux cas suivants :
1" ^ = 4«i + 1 , a = m, /• = I ; ce qui donnera
(lo) R(/«)-I(m)=^ .;— ^ (mod/>);
2" p = i m H- 3, a = m, r = 3 ; nous aurons dans ce cas
(20) R(/n) — I(»i)ss(— i>"'+i(2'«->-»— i)(2»"'+i-+-i)B„,+, (mody^).
Soit ensuite
m = ïn^ /> = 8/1-1-3, ( — \=ij
il résulte
tandis que l'hypothèse
/n = 2 « -H I , /j = 8 rt -t- 7, I - I = I
donnera de même
(22) R(2rt -f-i)— l(2-f-i) = 2B2„H.2 (mod/^\
Quatrième apolication : ^ = 3. — Nous avons à étudier séparément les deux cas suivants :
(•) Mémoires de l'Institut, t. XVII (i83o) i84o, p. 265-2G6, 442-'l43.
° /> =: 12 7/? + 7, rt = 4'" 4- 2, /• = I, (-) = — I ; ce qui don-
liera
(23) R(4m + '2) — I(/,m-+-2) = (-i)"'4B3,„+2 (mod/>);
2" p = 12 m -|-i I, rt = 4'" + 3, /■ =: 2, I - j = I ; nous aurons Ici
(2 i) R(4m-+-3) — Ii4««-+-3)~(-i)"'+'2r}3,„+.j (m. )(!/>}.
Cinquième application : q =^ 6. — INous avons à étudier les même cas que dans l'application précédente :
1 " y^ = 1 2 m 4- 7 5 « = 2 //? + i , /• = i ; ce qui donnera
(■25) R(2m + i) — I(-2/n-4- i) = (— i)'"2B3,„+2 (motl/»);
2** p = 1 2 A// -T- 1 1 , « = 2 m -|- I , /• = 5 ; nous aurons dans ce cas
(a6) R(2^î + i) — J(2/7i-l- i) = (— i)'"+i2li:„„+3 (m<.(Iy>).
