VII. — Des coefficients binomiaux
11 est bien connu, depuis la naissance de l'Analyse moderne, (|iit' la factorielle
i i<)„Xx ) — x{x -h i){j: -1- 2) . . .(x -ir n — i),
I lùo(j-) = 1
joue, pour l'opération A, un rôle analogue à celui de la puissance x" dans le calcul difïerentiel, parce que nous aurons
(2) Aw„(a7)= nw„-,(.r) (nli).
Posons, comme ordinairement,
(3) oy„(a:) = Cf,x"-¥- C;,.r«-'-h. . . -I- Cf^x'^-l'-h . ..-4- C'^-^x,
les positifs entiers C(' sont les coefficients de factorielle du rang n ; nous aurons particulièrement
Dans nos recherches suivantes, nous appliquons le développement plus général
(5) w„(^-f-a)=VCf,{a)^«-*-,
de sorte que nous aurons
(6) C<>(a) = i, C;î(=t) -'"«(='), et de plus, en vertu de (3),
(7) Q,(o) = Cf, (o^sSn-i). ■
Cela posé, nous avons à étudier le coefficient binomial
.i-(.r — i)(j: — 2')...(jc — n-+- i)
( nil i),
et particulièrement, même pour a; = o,
CHAP II. — nu CALCUL AUX DIFFERENCES FINIES.
Cela posé, nous aurons immédiatement
ou, ce qui est la même chose,
(le plus, nous aurons, en vertu de (i) et (8),
l'iMi. t'u xcrtu de (2),
\n/ \n — \ < I (jui donnera immédiatement
Sr-"r-)=(:) ^-^o'-
Posons, dans la formule ainsi obtenue, — x -\- ?i au lieu de x^ nous aurons, en vertu de (i i), cette autre forme de (14)5
Remplaçons ensuite, dans (i5), x par x — /?, puis multiplions
par
l<'«i deux membres de la formule ainsi obtenue, l'identité évidente
{;){-/HA)rs')
• lonnera cette autre formule
i^-'UJCD^'-K;)
En dernier lieu, appliquons l'identité
nous aurons
2, /x -^ n — s\ /x -hi\ ^-f-i.„ . .
OU, ce qui est la même chose,
car (On t{x -\- 2) est un polynôme entier du degré n — 1 par ^rapport k x.
Quant aux opérations A et 0, nous aurons, en vertu de (i3),
tandis que le polynôme g„{x)^ déterminé par l'équation
se présente sous la forme
En effet, nous aurons
de sorte que la formule (20) est certainement vraie pour /î=o, /i=i. Soit ensuite w^i, nous aurons tout d'abord, en vertu de (20),
ce qui donnera
CIIAP. II. — DU CALCUL AUX lllFFKRKNCKS FIMES. ^3
Supposons maintenant, conformément à (19), jtiiis appliquons l'identité
il résulte, en vertu de (22), que g,i{oo) satisfait à la condition (19). Soit particulièrement .r = o, nous aurons, en vertu de (20),
*"'''("> ==;i;rrr ^""^^
Dans le Chapitre XII nous avons à ^développer des relations irieuses entre les fonctions .\"{x)^ Cn(:r) et gni^)-
VIII — Développements d'un polynôme quelconque.
Revenons maintenant à la formule (22) du paragraphe V, savoir A.'^^
(•) /(^-+-vt>)=2(f l-^Vd^^*) ("'^'0
n[\f(^x) est un polynôme du degré n par rapport à x, savoir
(2) /(x) = au^r"-!- a, .r" ' -H. . .-+- a„-i^ -t- rt„,
tandis que p désigne un nombre entier non négatif; je dis que nous aurons l'identité suivante, beaucoup plus générale,
Il X et ,3 sont des variables complexes quelconques. En effet, étudions l'équation algébrique (3); elle est du degré m iiu plus par rapport à x; néanmoins cette équation admet, en vertu
•l4 PREMIÈRE PARTIE. — DES CLASSES DE POLYNOMES ENTIERS.
de (i), comme racine un positif entier quelconque, c'est-à-dire que
cette équation est une identité.
Introduisons maintenant, dans (3), au lieu des difle renées qui
lîj^urent au second membre, les expressions correspondantes tirées A.'f'î. de la formule (7) du paragraphe V, puis ordonnons, d'après
les/(P-r|-/>); le coefficient de f{\^-\-J>) deviendra, en vertu de l;i [)'7.i ' formule (16) du paragraphe VII,
ce qui donnera cette autre forme de la formule (3) : Cela posé, nous aurons par exemple
(l--)'=2<-)'-(:)(^;:iv)(!-»)" <"'^^>.
d'où, en posant œ : ol au lieu de x, puis en multipliant par a/' les deux membres de la formule en question.
(5) {^ + a:)P=^(-iyn-sl AI oc '- '\ .v = o \s J \ m — S /
(^ -+-««)/' (mlp).
Posons maintenant, dans (5), successivement
p = n, n — (, n — a, .. , 2, i, o, puis multiplions respectivement par
«0, «1, <ï2) •■•■, (^ii-i, <^n—\i (f-n,
les équations ainsi obtenues, nous aurons, en vertu de (2),
Hemplaçons encore, dans (6), a par — a, puis appliquons l'iden- ( . ^4. tité (10) du paragraphe VII, nous aurons le théorème suivant :
CHAP. II. — Dl' CAIXUL At\ I>IFFERENCKS FINIES. O/i
I. Désignons par f{x) un polynôme entier du degré n par rapport à x^ par x^ a, '^ des variables complexes^ de sorte que a n^est pas égal à zéro^ tandis que m est un positif entier assujetti à satisfaire seulement à la condition m^n, nous aurons
toujours
Regardons le cas spécial
nous aurons, en vertu de (7),
multiplions ensuite par /(|3) les deux membres de (8), puis soustrayons de (7) la formule ainsi obtenue, nous aurons
Enfin, appliquons l'identité évidente
/.Z--I-5 — i\ / X -\- m\ or / m \ 1 x -1- m \ \ s / \ /H — s / ^ .r ■+■ s\ s / \ m /
nous aurons cette autre forme de la formule (7) :
/(^-sa) {min).
Dans le Chapitre XII, nous avons à donner des applications très intéressantes des formules que nous venons de développer.
IX. — Développements d'une seule puissance. Appliquons maintenant la fonction
,f.. introduite dans les formules (aS) et (24) du paragraphe V; le déve-
loppement général (3) du paragraphe VIII donnera
d'où, en posant — :r au lieu de a?, puis appliquant l'identité (10) du L.J4 paragraphe VII,
ce qui donnera pour a = o
(4) a.«=2(-0''-^('^'^/~')^i' (min).
Posons encore, dans (4), m = n; la formule ainsi obtenue est appliquée déjà par Fermât pour déterminer les premières des sommes de puissances semblables
La formule (4) est indiquée par Stirling (') et retrouvée par beaucoup de géomètres, par exemple Kramp (*), Herschel (^), Gauchy (^), Puiseux {^).
Revenons maintenant à la formule générale (2), elle nous donnera immédiatement une équation fonctionnelle qui doit être satisfaite
(') Methodus differentialis, p. 8. Londres, 1780.
(') Hindenburg comb. analyt. Abhandlungen, t. II, p. 365. Leipzig, 1800.
(') Calculas of fini te différences. Londres, 1820.
(') Résumés analytiques, p. 34-35. Turin, i833.
(') Journal de Mathématiques, t. II, 1846, p. 477-4'^8.
CUAP. II. — nu CALCUL AUX DIFFEKENCKS FINIES. Orj
par les fonctions X"{y.). En efTet, multiplions par
