XCIV. — Nombre des résidus dans une série arithmétique
Soity>=2m + i un nombre premier impair quelconque, et soit a un positif entier plus petit que p, nous avons à étudier les nombres R^ ^ et la^b des résidus, respectivement des non-résidus de/?, qui se trouvent parmi les termes de la série aritlimélique
(i) /', 6 + «, b'i-Q.a, ..., b-i-ga,
OÙ il faut supposer
b -h qa <.p (i = b^a).
Ces définitions adoptées, nous aurons tout d'abord
(2) • Hrt,/.-+-ifl,/;= 5' -+-i;
posons ensuite
p = a/n'-h d (i%dl(( — i),
nous avons à déterminer le positif entier c, tel que (3) b -\- c -\- aij = p (o£c^« — i),
CHAP. XX. ~ DES RESIDUS QUADRATIQUES. );
[ui donner;!
[ b -^- c = d, ni — fj (6 £ d),
b -h c = (t -h d, /n = q -hi (b > d).
appliquons maintenant le même prQcodé que dans le paragiaph précédent, nous aurons ici
lia,/,— ia,b^^(b-t-as)"' (mocl/>),
de sorte que nous avons à étudier la somme de puissances qui figure au second membre de cette congruence.
A cet effet, prenons pour point de déj)art les deux formules bien connues
posons, conformément à la formule (3), b <
nous aurons
as)" = ~Bn+i
Zd («— 5 -+-0 !««-*■+'
ce qui donnera, en vcrlu du liu-orèmc de von Staudt et de Th. Clausen,
(ino<l/>),
où il faut supposer i < /t <y> — 3.
Cela posé, nous aurons immédiatemeni, en vcrlu de (5), le théorème :
i. Soient R^^ et \a^b les nombres des résidus respectivement des non-résidus parmi les termes de la série arithmétique (i),
nous aurons avec la définition (3) du positif entier c
L'analogie de ce théorème avec celui que nous venons de démontrer dans le paragraphe précédent est évidente.
Considérons tout d'abord les équations (4), puis supposons donnés les nombres a et 6, nous aurons à choisir un autre positif entier ^,, tel que
(8) b-\-bi=d ou b -Jr bi= a -^ d,
selon que b <^d ou b^d.
Cela posé, la formule {'j) donnera, en vertu de l'équation fonctionnelle de Jacobi,
(9) Ra,6- Ia,6= (- I)'"(R«A- W.),
résultat qui est évident du reste.
Soit maintenant d un nombre pair, savoir rf= 28, ce qui exige a impair; soit ensuite a4-<i=20, ce qui exige aussi a impair;: nous aurons en posant, dans (8), 6 = ^, = 0,
i Ra,5— Ia,5^ 2m)! •2«'"« B,,„+,f j (moàp), {p = ^m-^\);
le premier de ces deux résultats est évident aussi.
Dans les applications suivantes, nous nous bornons à l'étude descas particuliers, dont les résultats se présentent sous forme simple»^
Première application : « = 2. — Nous avons à étudier séparément les deux cas :
1° p = ijn-{- i; nous aurons les résultats évidents 2" p = /\m-\-^ ; dans ce cas, nous trouvons
f Ko,,-l2,i=l2,,-R2,„
/ «2,1—12,1 = ■ • (moa/>),
CHAI'. XX. — DES RESIDUS QUADHATIQLES. SjiJ
<ic (jul donnera finalement
^ Rî,i— Ij,,^— 6B2„,^l (modp), (p = Sm-h'i), i 1^2,1— '2,1— 2n2,„+2 (mo(J/>), (/> = 8/« + 7).
Deuxième application : (iz=\. — 1" Soit p=\in-^i^ nous aurons
'^'^^ I «4,1-1;, 1= U,3- R4,3^^^''"e„, (mod/>);
■>" Soit/> = i/ii 4- 3, nous aurons de même
Rv,3— 14,3^ (—i)"'(-^--"'^^— 0(2-'"+^+ •^•)l^/«+i (mod/?),
R;,,— l4.,= (— l)"'(-;!2"'^2— |)(22"'+2— 2)R,„ + , (lUOd/)),
j qui donnera, pour p = Sut -\- 3,
^""^ ' R.,.-l4,i=i2R,,„+, (mody>)
tandis que nous aurons, pour y> = 8jn -\- 7,
, ^, ( ^4,3— Ï4,3 = — 4B2//H-2 (modyj),
Troisième application : « = 3. — 1" L'hjpotlièse y? + 12m = 7 donnera
!R3,2— '3.2= '>'n -+-I, f^3,l ^3,1 = '3,3 Rj,3> «3,1— l3,i = — 4B3«,+2 {moAp);
Soit ensuite /? = i 2 /« + 1 1 , nous aurons de même
«3,2— 13,2 = (—•)'" 2B3„,+3 (mod/?).
Quatrième application : a = 6. — i**y> = i2m + 7; dans ce «cas nous avons
«6.1 Ic,l = h, 6 — «6,6, «6,2 le.ï = ^6,5 «6,5.
«fi, 3— lo,ï= le.t — «6,4;
iSo TUOISIKMli: I'AUTIF:. — APPLICATIONS SLR LA THÉOUIIi: DKS XO.MIUIKS.
(lo plus, nous trouvons
!Rc,t — ^6,1^ (— 0'" '''Raw+2 (moci/j),
1^6.2- h,i^^^-^[-i"'—i-i)"'] B3,„42 (mO(l/)\
nc.:i— I:,,3 { - 1)'"+^ ■>.ii:un+i (mod/j);
:i^ L'hypothèse y> = 12 /;i = 1 I donnera
<->o) j R6.2— Ic.2= Ju.3-- lîii,:! — •>.[i + (-i)"'] H;j/« + 3 (mod/)), f Ho,:;— Ic.ô= Ir.,r,- I5r,.r. - •>. [l + (- l)'"] 83,;,+:, (inod/)).
Ci/x/i/ir/tie application ; « = i 2. — i" Soit p z= 1 2 m + 7, nous trouvons
(9.1) R12.3— Ï12,3= llî.V— Rl2,l=(— l)'"+-'2B3„,+, (mod/))-.
2° L'hjpothèse y> = 1 2 /y/ + i i donnera de même
( 1m2,,3— l|2,3=Il2,8- Rl2,8--(-l)"' + ' 4B3/„+3 (modp),
( 1^12,2 — '12, 2= Ii2.;i— Hi2..j:-M— i)'" 4 B3/«+3 ( iiiod /) ),
