XCV. — Sommes de puissances

Désignons par a un positif entier, tel que i^rt^/> — 1, où p = 2ni -\-ï est un nombre ])remier impair, puis désignons |)ar Rrt(rt) et In(«) les sommes des «■''"'«* puissances des résidus respectivement des non-résidus de p qui se trouvent parmi les nombres

nous aurons évidemment

(■>,) H„(r/)-t-I„(rt^= S„(«),

tandis que les congruences

a'" -=^± I (mod/?),

selon que a est résidu ou non-résidu de />, donnent de plus

(3) R„(a)— I„(a) -::S„Hm(«) ('iiod/>);

cil VI'. XX. — l)F..S UKSinuS QUADIl.VTIOUKS- 38 1

l-à-dirc (|nc nous aurons

■X nn(fl) = S„(a)-4-SrtH-,„(rt) (mnd/>), 1 1,1 (rt) =- S„(a ) — S„^.„,(rt) (inod/) I.

Illudious tout (l'abord le cas « zrr y> — i ; les lornniles [\) donnent iinniédialeincnl le théorème suivant qui est très connu :