II. Soit p un nombre premier de la forme \m-\-\^ nous aurons
-) l{2„+,(/^ — i) = Ij„^.,(/; — 1 ) = o (inod/^-t, (r^«£/// — II.
Dans ce cas, nous appliquons la congruence (i i) du |)ara- A.S^^»
grapiie LXXXIX, ce qui donnera '
, 8 H„(a) — 8I«(a) 1=1") S„+„,(rt) — 10 Sfl+3,„(a) -+- 3S„4-s/„('«) (mod/)»), de sorte que nous aurons, en vertu de (2),
( 16 lî„(rt) ;l^ 8 S„( a) -t- i5 S,,^.,,,! a) — 10 S„H.3„,(a) -}- 3 Sn+-^m{(i) f 8 ) {
( (mod/)'),
. \ iG F„ (a) 1 8 S„(rt) — lii S,j-H,„(a) -MO S„^.3,„(rt)— 3 S„-,-5,„( rt )
(îela p»»s<'', il est évid(Mit rpi'il faut étudier séparémenl le cas particulier /i = I .
38l TROISIÈME PARTIK. — APPLICATIOMS SUR LA THÉORIE DKS NOMRRES.
L'hypothèse y^ ^ 4m-{-i ne présente aucun intérêt, parce que nous avons évidemment
(lo) Ri(/>-i)^l.(/>-i)= P^P-'\
Soit maintenant p = /[f/i-{-3y les congruences (6) donneront 4 l\i(p - i)^-p-^ ( i)"'(3 B„,+, + B,„,+,)p (modp^),
de sorte que nous aurons finalement, en vertu de la congruence (\'a) du paragraphe LXVII,
l ^-^^i^-^Ç^-^s=-i + (-!)"» 4 B„,+, (modp), I àhip-V ^ ,(,),„ 4 B,,,^, (mod/;);
ces résultats sont dus à M. Voronoï ( ' ).
Étudions maintenant le cas général. Supposons tout d'abord
jD = 4 m + 3, nous aurons, en vertu de (6),
il est très curieux, ce me semble, que les seconds membres de ces congruences ne dépendent pas du nombre premier/;.
Appliquons ensuite la congruence (ii) du paragraphe LXVII, nous aurons de plus
^ ' p p 8rt-f-2 ^ ^'
Soit ensuite
le même procédé donnera
!B2«(/> — i) , „ ,(^n {—i)"'in^ \ ...
hAp-i) , ,„ ,/B„ (-.)"'2n^ \ , , ,
(') Jahrbuch ûber die Fortschritle cler Mathematik, t. 30, 1899, p. 184.
CHAP. XX. — DES RÉSIDVS Ql'ADRATrQUES. 383
Quant aux sommes R2n^i(/> — i) et ^zn+tif — ')• nous avons à ij)|)liquer les congruences (8) et (9), ce qui donnera, en vertu des orniules
B„+2„.= (-i)"'aB„+„,— B„ (modp),
(mod/>),
tirées directem*
ntdes congruences (9) et (i 1) du paragrapheLXVIF, n t^ " ij
de soile que nous aurons
l\ hn(p — \)
(lllO(l/> j,
(modp),
(mocl/) ).
l \\\in(p — \) , j ,
congruences qui sont précisément de la même forme que celle-ci
(mod/)),
tirée directement des formules (^) du paragraphe LXXVI.
Appliquons les congruences (4), nous verrons que la formule (11) du paragraphe XCIII admet des applications immédiates sur les sommes R«(«) et !«(«)• Or, les résultats généraux étant assez compliqués, nous nous bornerons à indiquer les formules les plus simples, tirées directement des congruences (4).
Soit p de la forme f\m H- 3, noUs aurons
Rj^Cam -f-i) ^— l2„(2«t -+- 1)
(mod/)),
de sorte que le second membre de la dernière de ces formules est indépendant du nombre premier/?.
Soit malutenant p de la forme 4»* H- i , nous aurons au contraire
Rj„('^/n)sI,„(.im)so (mod/?);
38i TnOISiÈME PAnTIlî. — applications sur la TilKORIE DES NOMBRES.
l'étude ultérieure de ces oongruences, établie à Taide des congruences (()), donnera des résultats assez compliqués. Dans le cas p = 4'« + ' , nous aurons de même
( R2„(/»)= fer ^rt„ +(-.)'" iw«,) (m. Kl/,),
1 l^nijn) ES ^(E„-(- I)'" !■:„+„,) (niud/,).
Les formules que nous venons de développer montrent clairement qu'il existe une analogie très étendue entre les sommes (l( puissances S«(fl) et les sommes R,j(«) et \n{(t).
Or, il est possible de pousser beaucoup plus loin l'analogie susdite, nous le verrons dans les paragraphes suivants.
