XCVI. — Analogies des coefficients de factorielle

Soient (i) /-i, r,. /'s, ..., r,n

Fensemble des résidus quadrati({ues du nombre premi(^r/> =^ini-\-\ les coefficients a,, du polynôme entier du degré m

(■O ^ f{x) = {x + ri){x^i\)...{x-i-r,n)

et les sommes

<|ue nous venons d'étudier, sont liés par les formules de Newton

(3) \\,Ap~\)+ 2 (— i)'/ «7 R/i-v^/' -i) + (—')"«««= o.

où il faut supposer 2<n'^in^ tandis que nous aurons

(4) l\i(p — i) — ai = o, ce qui donnera le résultat connu

(5) ' «„=s;o (modp); {l'^n^/n — i).

(mo(

rt-F 1)

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De plus, nous aurons, en vertu de (3) et (4),

(()) R„(/> — i) -+- (— i)"«cf,j5s o (mod/)*), iln£m).

Soit maintenant /> de la forme 4 '^^ + 3, la première des conoriiences (i) du paragraphe précédent donnera

rt,HE;— 1 -f-(— i)'" li,„H, (modp),

tandis que nous aurons généralement, en vertu des formules (12^ «t (i3) du paragraphe susdit,

(mod/j),

où il faut supposer i ^ w S 2 wj , respectivement i^n'^2m — 1 . Soit ensuite /> de la forme 4'^* + », nous aurons de même

M,) g^^(-.)"(^+^~'^"^""") (mody.), (.<n<.^m-.}, •' p ^ \in 4/1 — 1 / '^ ^ V - - yi

tandis que les «o/z+i >*alisfonl à la condition

(10) «in^ i^^o (mod/>2), (}^n^9.n — i;;

nous aurons dans ce cas, en vertu de (3),

l\in + l(p — t) — fil ^în(P — l) -+- «î,, Ri (/> — l) -+■{■> n ■+- \)ain-^t ^ O

(mod/)ï), ce f|ui donnera après un calcul simple

lion, en vertu de (i)),

Quant au coefficient «,, il résulte, en vertu de (i),

MEI.S MKLSEN

Revenons maintenant à la formule (3), puis posons « -= m, il «•ésulte

(i4) R,„(/) — 1) + (~- i)"'m/-,r2. . ./-«i^EF o (modp^), (/) — •>. m -H 1 );

appliquons ensuite les congruences

■2 r'J^ ^X-hpk(rs) (mocl/)2), (i^s^m),

' il résulte

Tj^g . tirées directement des formules (4) et (5) du paragraphe LXXXIX.

ce qui donnera le résultat bien connu (i5) /•,/-2'-3.../-/n=(— i)'"-' (modp).

Posons ensuite

(16) ri/i. . .r,n = (—!)'"-'( I —pQ,,), nous aurons, pour le nombre entier ùp,

s —in

(17) ^P^^K'-s) (mod/>).

Appliquons maintenant la congruence

4 Rm(/> — i) = '^S,„(/) — i)-4-3S2,„(/? — n — S4,„(/) — i) (mod/>2), L,'l^ ) , tirée directement de la formule (6) du paragraphe XCV, et

I = Bj„, — (— i)"'2 B,„ {moAp)

, o-t*|j obtenue de la formule générale (i6) du paragraphe LXVII, en y f ' ' posant /' = 2, nous aurons, en vertu de (i4) et (16),

Soit ensuite p de la forme ^m + 1, nous aurons par conséquent (19) i2^^^ Ihî,,,-»- ^ ^ i -+-(-i)"'-iB„, (inod/)),

CHAP. XX. — DES KÉSIDUS QUADRATIQUES. 3Sy

tandis que l'hypothèse p = ^m -\- 3 donnera

(•20) Û„=-B2,„+, H (mod/j).