xp

Eu second lieu, soient

(•^0 '1, «2, ii «■/;,,

l'ensemble des non-résidus du nombre premier/) = 2m + i, il est évident que les coefficients b,i du polynôme entier du degré m

= a7'»-t- 6, a:'"-' -I-. . .-f- b„,-ix -+- b,„,

et les sommes

sont liées par des formules aualogues à (3), ce qui nous conduira à une suite de résultats parfaitement analogues aux précédents.

(l'est pourquoi nous nous bornerons à l'étude du cas particulier

(•^3) l,„(/> — 1)-4-( - i)"'m«, t2{3...t,„ = o (mod/)«);

appliquons la congruence

•2 !,„(/> — I) = — /> -4- I — P^^ ^(i-i) (fnod/0*),

nous aurons le résultat bien connu

' -^ i il «î f3 . . . '■ „ - ''— I )'" (mod />).

I *osons maintenant ( i ■. ; /■ i f 2 l'i... i.„ = ( — I V" ( I — p Q;, ),

nous aurons par conséquent

et uou> trouvons de même, pour y? = \m-\-\ ^

>: ' q;,^- iBi,„-4- 7^ — ;^ -+-(-i)"'B,„ (mod/;}.

tandis que l'hypothèse jo = 4'^ + 3 donnera

(28) û;,= iB,„+,-+-^ — ^ (mod/?),

de sorte que nous aurons, dans ce cas,

(29) Qp=Q',j (modp).

On voit que l'analogie des deux congruences (i5) et (24) avec le théorème de Wilson est parfaite. On voit de plus que chacun dés deux nombres entiers Q^ et Q'^,, que nous désignons comme quotients de Gauss, est très semblable au quotient de Wilson.

Multiplions les deux congruences susdites, nous avons une nouvelle démonstration du théorème de Wilson, de sorte que les formules (16) et (35) donnent, pour les quotients de Wilson et de Gauss,

(30) Wp^ d'où, en vertu de (29),

(3i) Q^=Q'p~-W^ (mnd/)), (> = 4ȕ + 3),

congruence qui est facile à démontrer directement. '

On voit que la congruence (3o) donnera de nouveau l'expression bien connue pour le quotient de Wilson.