X -^ % — {x — 5) + (a-+-s), nous aurons l'identité

ce qui donnera, en vertu du théorème IV du paragraphe 1, /^* J

(5) Xr'{^) = ^~l.^, (a) + (a -+- 5).M'(a),

où il faut supposer \<s%n^ tandis que nous aurons

{ -A.-'o'+' (a) = a Xgfa) =. a" + ', "'' .( Xîîti (a)- (n + i).\..;;(^) = (« + ')'•

Cherchons encore, dans (2), le coefficient de la puissance x^~'' qui figure aux deux membres de la formule susdite, nous aurons l'identité

(-tV

où les C^„ sont les coefficients de factorielle du rang m.

Dans nos recherches suivantes nous avons besoin d'un autre développement de la puissance x". A cet effet, posons pour abréger

où m , II, p désignent des entiers non négatifs, tandis que a est une variable complexe; je dis que nous aurons l'identité

En effet, introduisons dans (9), au lieu de il!)"' (a), les expressions correspondantes tirées de la définition (8), puis ordonnons, d'après les puissances (».+/> — */)'', le coefficient de cette même puissance

k, l'I- • deviendra, en vertu de là formule ( i 7) du paragraphe VIT,

— DM

Cela posé, il est facile de démontrer le théorème suivant :

I. Soient X et Cf. des variables complexes., tandis que m et n désignent des positifs entiers^ tels que m^n, nous aurons toujours

(,o) („,)'«-"(:r-a)-= ^ ('^"^^~')^i'f'''(«) (niln).

En effet, étudions l'équation algébrique (10), dont le degré par rapport à x est égal à m au plus, puis posons

nous retrouvons toujours la formule (9); c'est-à-dire que notre équation est une identité parce qu'elle a (m -\- i) racines inégales. Dans le cas spécial m= n, nous posons pour abréger

(11) ill,';'"(«) = ail>;(a),

ce qui donnera, en vertu de (8j,

soit encore a = o, nous posons de plus

(i3) iil,;s''"(o) = 11!);,"'". ii!>;^"(o) = 111,^(0) = m,;',.

Le cas spécial de la formule (10) qui correspond à a =1 o, m = «.

(lô)