X. — Remarques sur les opérations D, A

Supposons que les deux polynômes

F{x ) — aoJS'^-h aix"-^ ■+-. . .+ a„i^ -+■ a„, f (x) = 6o.r«-i -+- biX"-^-h. . .-+- 6„2^ -t- 6/1-1

soient liés par la relation

i^ l, , nous aurons, en vertu de la formule (6) du paragraphe II,

(2) {n — p)a,,- bp (oi/>i/i — 1);

c'esL-à-dire a^ne f{x) est parfaitement déterminé, pourvu que F(a7) soit donné.

Inversement, supposons donné ./(a?), l'équation (2) ne nous permet pas de déterminer le coefficient a,t^ ce qui est évident du reste. En effet, soit F(^) un polynôme qui satisfait à l'équation (i), et soit C une constante quelconque, le polynôme

(3) *(^)= F(ar)-4-C

est aussi une solution de (i), et inversement; la diff'érence de deux solutions quelconques de (i) est une constante par rapport à x. Dans ce qui suit, nous désignons par

un polynôme quelconque qui satisfait à (i).

Supposons maintenant que les deux polynômes F(.r) et f{x) satisfassent à l'équation aux diff'érences finies

(5) AF(a7)=/(^),

. /(0' la formule (i4) du paragraphe V détermine parfaitement /(x),

« pourvu que F(:r) soit donné. Inversement, supposons connu le

polynôme f{x), l'équation (5) ne détermine pas parfaitement le

polynôme F(x). En eff'et, soit F(^) une solution quelconque

CIIAP. II. — DU CALCUL AUX DIFFERENCES FINIES. 3l

de (5), la fonction ^(x) définie par la formule (3) est une solution aussi.

Dans ce qui suit, nous désignons par

un poljnome quelconque qui satisfait à l'équation (5 ). Quant à IVquation

:> BF(x)=/(x),

nous avons démontré, dans le paragraphe VI, que cette équation détermine parfaitement un quelconque des deux polynômes /(x) et F( J?), pourvu que l'autre soit donné. Dans ce qui suit, nous posons

Revenons maintenant aux fonctions dérivées d'un polynôme entier, nous avons à démontrer le théorème suivant :