I. Supposons que les dérivées du poly/wme entier

1 i| I F(^) = aoX'^-+- aix"-' -h. . .-\- cr„|.r«-' -+- a„

satisfassent aux conditions

nous aurons

il) ao= a, = «2 = . . .= a„-i = o,

tandis que le coefficient an peut être choisi arbitrairement. En efiet, introduisons dans (lo), savoir

successivement

nous aurons immédiatement les conditions (1 1). Soit p =r; /?, nous

aurons toujours

F(")(a)= F('''(P) = n'.ao.

>2 PRKMIKBK PAKTII':. — DKS CLASSES DE POLYNOMES ENTIEUS.

Il est évident, du reste, que l'inversion du théorème I est juste aussi.

Comme application directe du théorème I, on conclut qu'un polynôme entier F(x) satisfaisant à la condition

OÙ a est une quantité différente' de zéro, se réduit à une constante. Cela posé, il est très remarquable, ce me semble, qu'il existe une infinité de polynômes /(x) du «'*""* degré, qui satisfont à un des deux groupes de conditions

ou

et l'existence d'un seul de ces deux groupes de conditions entraîne nécessairement le second.

Les polynômes qui satisfont à de telles conditions sont les polynômes symétriques que nous avons à étudier dans le Chapitre V.

De plus, il existe, pour une valeur quelconque de n plus grande que l'unité, des polynômes /(a?) du /î'*™'^ degré, tels que

(,5) /(/')( I) =/(/') (o), p,^n-i, /(«-!)( i):^/U-i)(o; OU

Ces polynômes sont les fonctions de Bernoulli, respectivement d'Euler, fonctions que nous avons à introduire dans le Chapitre suivant.

On voit, en vertu de nos remarques sur les deux opérations A F(x) et ùF(x), que le polynôme entier Fix ) est déterminé, abstraction faite d'une constante additive peut-être, pourvu qu'une seule des deux expressions F[.f ) ±F(x — \) soit donnée.

Supposons maintenant donné un polynôme entier '-^{x}^ qui n'est pas égal à une constante; il existe une infinité de polynômes