XI. — Propriétés fondamentales

Dans ce qui suit, nous avons à étudier une suite infinie de polynômes entiers

(i) Mx), /,(^), f,{x), ..., f„(r), ...,

assujettis à satisfaire aux deux conditions suivantes :

1° fn{x) est toujours, quel que soit l'indice /«, du de<;ré n pai rapport à x ;

2" Soit /i ^ I , nous aurons constamment

C^ela posé, je dis qu'il existe une suite infinie ordinaire

(3) «0, «1, «2, . . • , an, ....

telle que nous aurons, pour une valeur quelconque de l'indice /?,

( 4 ) fn{x)= -^- -—- +...-+- —^ — - -h ... H -•

En effet, le polynôme /« (a;) se présente toujours sous la forme

OÙ les a„ ç sont des constantes par rapport à x^ ce qui donnera, en vertu de (2),

CIIAP. m. — LES SUITES HARMONIQUES. 35

(U> ^iu-lr (|iic nous aurons immédiatement

a„^s— (^n-i,s (o^sSn — i).

Soit ensuite 5 un indice quelconque, nous aurons par conséquent

ce (jui donnera précisément l'expression générale (4)-

Inversement, il est évident que les polynômes fn{x)i définis par l'expression générale (4), satisfont aux deux conditions susdites.

Dans ce qui suit nous disons pour abréger que la suite (i) est une suite harmonique, dont la base est la suite ordinaire (3), ce que nous désignons par le symbole \fn{x)^ ««]. De plus, nous désignons j)ar \<ii,\ la base (3) de la suite harmonique (i), et nous disons simplement que le polynôme y'„( a; ), défini par l'expression (4), est un polynôme harmonique.

Ces définitions adoptées, nous avons tout d'abord à développer les propriétés fondamentales des suites harmoniques, propriétés qui nous sont indispensables dans nos recherches suivantes, et parmi lesquelles nous retrouvons, sous forme élégante, plusieurs des théorèmes que nous venons de démontrer.

Etudions tout d'abord le théorème IV du paragraphe I, nous aurons ici :

I. Soient [/«(a;), a„j et [ç„(j7), 6«] deux suites harmoniques quelconques^ il existe une suite ordinaire

(5) au. a,, a.. ..., a„, ...,

de sorte que nous aurons^ pour une valeur quelconque de n,

f) ) 3)„(a:) = ao/„ (x) -+- a,/„, (x)-\-...-^ «p/n-^,, (x) + . . . -)- a„/„(a:).

En eflfet, les polynômes /to(^) et cp,,(.r) étant toujours d'un degré égal à l'indice, il existe, en vertu du théorème IV du paragraphe I, une identité de la forme

OÙ les jii„ , sont des constantes par rapport à x. Introduisons ensuite, dans (7), les expressions obtenues pour ^it{x) et les f„^s{x), nous aurons, en égalant les coefficients de la puissance x" ^ qui figurent

3r> PRKMIÈHE PARTIK. — DES CLASSES DE l'OLYNOMES ENTIERS.

aux deux membres de (7),

(8) è,= ^„,„ a, -+- p„,, «,! + ...+ p„,,ao (o^s^n).

Cela posé, désignons par s un nombre fixe quelconque, la formule (8) est applicable pour n>s; c'est-à-dire que nous aurons successivement, en introduisant

(), I , u, 3, . . . , s — I au lieu de 5,

ce qui donnera précisément la formule (6).

II. Soient [/«(^), ««I et |cp„(a:), />« ] deux suites harmoniques quelconques, l'expression

(9) A„ = 2(-i)^/„^,(a-)cp,(^)

a toujours une valeur constante, tandis que les polynômes

forment une nouvelle suite harmonique.

Étudions tout d'abord l'expression A,,, nous aurons, en cherchant la dérivée de A,<,

c'est-à-dire que A^^ a une valeur constante par rapport à x. Soit ^ =: G, il résulte, en vertu de (9),

s = n (II) kn='^i-iyan.sbs.

Quant aux polynômes <I>„(a7), définis par la formule (10), nous aurons de même

CIIAP. lit. — LES SUITES HARMONIQUES. 37

de sorte que les ^«(a?) forment une suite harmonique; soit [a„ ] la base correspondante, il résulte, en vertu de (lo),

(l3) an=<P„(o) = ~^an-.,bs^

Comme conséquence immédiate de la détiniliondes suites harmoniques, nous aurons la proposition suivante :

m. Soit IJni^)-, /t/i] lif^^ sinfe harmonique quelconque^ la formule de Taylor se présente sous la forme

(i4. fnix^ /')-/„(^) + ^/„-,(:r)+^/„,f.r)+...+ ^/o(x). Supposons li=. — ! , il résulte

ce qui donnera immédiatement

.;) 8f,.(.v) =M.v) -^f„{x -i) = ifn{x) -+-2 (zill!/„^.(^).

Cela posé, il est très facile de démontrer les doux théorèmes suivants :

IV. Supposons que les éléments des deux suites harmoniques \V,t{3o), A„] et \fn{x)^ an] soient liés par les équations aux différences finies

puis supposons donnée une seule de ces deux suites harmoniques^ la seconde est parfaitement déterminée à Vaide des équations (i8).

Soit tout d'abord donnée la suite [F„{x)^ A„], nous aurons, en vertu de (i6),

ce qui donnera immédiatement

c'est-à-dire que les coefficients ap ainsi déterYninés forment une suite ordinaire, de sorte que l'équation aux différences finies (18) détermine parfaitement la suite harmonique [/„ (ce), ««].

Inversement, supposons donnée la suite [/«(a?), a«], les équations (20) déterminent successivement les éléments de la base [A„].

Dans ce qui suit, nous désignons comme suites correspondantes de première espèce deux suites harmoniques [F„(iP), A„] et l/iii^)-, «/i], dont les éléments satisfont aux équations aux différences finies (18).

Le même procédé nous conduira au second des théorèmes susdits :

V. Supposons que les éléments des deux suites harmoniques \F„{x), An] et [/«(^), a„] soient liés par les équations aux différences finies

(21) F„(^)-HF„(.r-i)=/„(.r) (nlo),

puis supposons donnée une seule de ces deux suites, la seconde est parfaitement déterminée à Vaide des équations (21).

En effet, nous aurons, en vertu de (17),

{-XI) /„(^) = 2F„(^;+2^r^" ■'^■^^'

ce qui donnera immédiatement

CHAP. III. — LES sriTES HARMONIQUES. 89

Dans v.v, qui suit, nous désignons comme suites correspondantes (le seconde espèce deux suites harmoniques fF«(j7), A„ | et \/n{^)', ^«]» dont les éléments satisfont aux équations aux différences Unies (21).

()uant aux suites haruu)niques, nous aurons encore à citer cet anirc théorème, évident du reste :

yi. Supposons que les rlémefits des deux suites harmoniques [/„(./'), o,i\ et [çp,/(.r), a„] satisfassent, pour une valeur quelconque de n, aux conditions

(ii) /„(o) = c?„(o) (nio),

les deux suites harmoniques en question sont identiques.

En effet, il est évident que les équations (24) ne sont autre chose

(|iie les égalités

11 est bien connu que M. Appell (') a étudié, le premier, d'uft point de vue systématique, les suites harmoniques.

En effet, soit (i) une suite harmonique conformément à notre définition, et soit, pour une valeur quelconque de n,

F„{x)=n\fn(x), l'illustre géomètre français étudie la suite infinie

Fo(.r), F,(.r), F,(.r), .... F„(.r), .. .

dont les éléments satisfont à la condition

F'„(.r) = nFn-i(.x) (nhi).

Or, les applications suivantes des suites harmoniques montrent clairement l'avantage de notre modification des définitions de M. Appell.

Ces remarques générales faites relativement aux suites harmoniques, nous avons à étudier les équations aux différences finies (18) et (21), dans lesquelles le second membre se réduit à une seule jniissance.

(') Annales de l'École IK'ormale, a* série, t. \, i8S(», p. iiij-i^S.

40 PRKMIÈRE PARTIE. — DÏÎS CLASSES DE POLYNOMES ENTIERS,