XII. — Les fonctions de Bemoulli

La suite des fonctions de Bernoiilli

(1) Bo(.r), B,(,r). B,(x), ..., B„{x), ...

est la suite harmonique dont les éléments satisfont à l'équation aux différences finies

c'est-à-dire que cette équation et la condition fondamentale des suites harmoniques

déterminent parfaitement la suite des poljnomes de Bernoulli.

Gela posé, nous aurons immédiatement le théorème suivant :

I. Soient [F„(x), A,J et [f„{x), an] des suites correspondantes de première espèce., nous aurons^ quel que soit r indice w,

(4) Fn(^)= aoB„(.x) + aiBn-i(^)-h...-\-a,,Bn-p(x)-^...+ a„BQ{:r).

En effet, il est évident que les polynômes F„(.r ), définis par les expressions (4), forment une suite harmonique; de plus, nous aurons, en vertu de (2),

Étudions maintenant la base [a,,] de la suite harmonique (i), nous h, j9 t aurons, en vertu de la formule (20) du paragraphe XI,

ce qui donnera, pour les premiers des coefficients a^,

Quant à l'étude plus approfondie des équations (5 ), nous prenons