CIIAP. III. — LES SUITES HARMONIQUES

noiir point de départ la suite harmonique, dont l'élément général est dét<'rminé par les expressions

j F„(.r) = (a:-+-i)B„,(^)-(n-i)B„(^), I Fo(.^) = i,

puis cherchons les éléments y'„(.r} de la suite correspondante, nous aurons

/„,(.*■)- K„(,r)-F„(.r-i), ce (jui donnera

/„,(.r)=B„^,(.r) + .r[B„,(,/;)-h„,(^-,)]-(n-i)[B,.(^)-B„(ar-i)], d'où, en vertu de (2),

Cela posé, le théorème I donnera

appliquons ensuite la valeur ao= i, nous aurons par conséquent

(81 ( .T -t- I )B,; -,( .r I = nB^(> )-l-^a^B„-i(;r) (n^i).

Cherchons ensuite, aux deux membres de (8), le coefficient de la puissance x"'P^ il résulte

i ri — p — 1)1 ' {n—p)l (n—p)\ ^{n — p)\ ^ '

ce qui donnera, en vertu des deux premières des valeurs numéi'i(|ucs ( <S ).

Gela posé, la valeur 7.3=0, indiquée dans la formule (4)7 donnera, par la conclusion ordinaire de m à m -|- i , le résultat général

l\-i PREMIÈRE PARTIE. — DES CLASSES DE POLYNOMES ENTIERS

Posons ensuite

(II) "^/'=-û7yr-' ^^-'''

il résulte, en vertu de la valeur de pta, indiquée dans la formule (6),

tandis que la formule ( 9 ) donnera généralement

(i3) {ip-^i)Yi,= 2

c'est-à-dire que les éléments de la suite infinie (i4) Bi, B^, B3, ..., B„, ...

sont des nombres rationnels et positifs.

Introduisons maintenant, dans (5), les expressions (10) et (i i;, il résulte, pour le calcul successif des B«, la formule récursive

Ci5)

Euler (' ) désigne comme nombres de Bernouili les éléments de la suite ( 1 4 )? parce que Jacques Bernouili (2) a introduit ces nombres dans l'Analyse et calculé les cinq premiers des B„, précisément à l'aide de la formule (i5); nous le verrons dans le para- ,1^0, graphe XXXVII. Bernouili a aussi regardé une suite dés fonctions intimement liées aux B„(x), mais seulement définies pour des valeurs positives entières de la variable x.

La formule (i3) est due à Euler (*).

La base \cl„\ de la suite des fonctions de Bernouili étant déter-

(*) Instituliones calculi differ-entialis, p. 422. Petrograd, 1755. (^) Ars conjectandi, p. 95-97. Baie, 1713.

(') Tnstitutiones calculi differentialis, p. 421-422. Petrograd, 1755.— Opusciilu analytica, t. II, p. 266. Petrograd, 178.5.