XIII. — Les fonctions d'Euler

Les fonctions d'Euler

(I) Eo(^), E,(^), E,{x), ..., E„(:r), ...

sont définies comme l'ensemble des polynômes entiers qui satisfont aux équations aux différences finies

(■i) E„(:r)-hE„(.r-i)= ^ («>o);

c'est-à-dire que la suite (i) est une suite harmonique, savoir

ce qui met en pleine lumière l'analogie des fonctions d'Euler aux fonctions de Bernoulli.

La définition des fonctions d'Euler donnera immédiatement le théorème suivant :

L Soient [F„(a7), A„] et [/„(ip), a,^] des suites correspondantes de seconde espèce^ nous aurons^ quel que soit V indice «,

(4) ^n{x) — a^Enix) + a, \ln-\{x) +. . . + a,,E„-i,{x) -f-. . .-h a„Eo(.r).

Quant à la base de la suite harmonique (i),il résulte, en vertu de , '^ D . la formule (aS) du paragraphe XI,

ce qui donnera, pour les premiers des nombres jS^,

(6) h=\' Pi=7' P-2 = 0, ^3 = --^^