CHAP. III. — LES SUITES HARMONIQUES
Étudions maintenant la suite harmonique formée des fonctions
G,i(.r ) = (x -h i}E,i{x) — (n -t- l)E„^.,( a:), i-nous aurons l«(^)+G,,{.r--ij = E,,(j-)+j:[E,,(;3.-j+li„(,.r— 1)]— (nH-i)[K„+,(jr)H-K„^.,(>— I i|.
>ù, en vertu de (2),
fee qui donnera
[7) (x ^ ï )E„( x) = {n ^ i) E„+i{x) -+-^%En.s(-^).
Cela posé, nous aurons, en appliquant la méthode expliquée dans le paragraphe précédent.
ph>=- 2 ^*!^/— (^=3)'
le sorte que la valeur particulière [^2=0 nous conduira au résultat rénéral
Posons ensuite
nous aurons tout d'abord, en vertu de la valeur de Pi, indiquée dans la formule (6j,
tandis que la formule (8) donnera
ip
le sorte que la conclusion de n À fi-]-i nous conduira au théorème -iiivant :
II. Les nombres T„, généralement désignés comme les coefficients des tangentes^ sont des positifs entiers et des nombres paires, abstraction faite û^e T, := i.
Les coefficients des tangentes sont introduits dans l'Analjse par
Euler, qui a trouvé aussi la formule (12) ('). Dans le para-
4L9 . graphe XXX. VIII, nous avons à revenir à la détermination des T,,.
La base [^n] des polynômes d'Euler ainsi déterminée, nous avons
les expressions suivantes :
■2 n ! jLj ( 2 5 — I ) ! ( n — •? 5 h- 1 ) ! 'i^^ .V = 1
et l'équation aux différences finies (2) donnera par conséquent
Loi X — i ) = - ,
d'où les valeurs numériques
(2Al + 1)! 2*"+2-
(Eo(-i)
Ein(-i) = o;
c'est-à-dire que nous aurons, conformément à la formule (16) du (') Opuscula analytica^ l. II, p. 272-273. Petrograd, 1785.
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paragraphe X.
(19) fi;„( — 1) = — E„(o), n>o, Eo(— 1) = Eo(o).
Remarquons encore que la formule (7) se présente sous la forme ( 20) (x-h M E«(.r)= (n-+-i)E„+,(^)
<re+J
formule qui nous sera très utile dans nos recherches suivantes.
Euler (' ) a appliqué les fonctions E„(:r), pour des valeurs positives entières de .r, tandis que Raabe (^) a introduit les fonctions en question pour une valeur quelconque de l'argument x, sans connaître évidemment le développement d'Euler.
