XIV. — Des suites correspondantes

[/introduction des fonctions de Bernoulli et d'Euler nous permet d'étudier plus amplement les suites correspondantes, introduites / , 3>^ dans le paragraphe XI. /

En premier lieu, soient [F„(ip), A„] et [/„{x ), a,i] des suites correspondantes de première espèce, savoir

i F,t{x ^%) — F„( X -\- oc — i) =/„|f j: + 7- I 1 // - n.

où J7 et a sont des variables complexes quelconques; nous aurons,

en développant, d'après la formule de Tajlor, la fonction qui figure

au second membre de (i), puis, appliquant la formule (4) du para- j^^ a^

graphe XII, '

Posons ensuite, dans (2), a == o, puis appliquons les valeurs numériques indiquées dans les formules (18) et (19) du para- h, ^3,

(') Institutiones calculi dijferentialis, p. 'jyg. l'etrogiiid. j;!)

(^) Malliemati.iche Mittheilungen, t. I-II, p. 129-138. Zuiicli, iSj^-iSSS.

|S pnEMiKni: partie. — des classes de polynômes entiers.

;i;i|)lic \ll, lions ;mr..Ms

j Fo(^)=/o(^),

d'où, en cherchant les coefficients de la même puissance qui figure aux deux membres de ces formules,

Ao = «0.

Al = «1 H «j

formules qui représentent les valeurs des A,,, tirées des équations (;>>.o ) L^'i - du paragraphe XI.

' Gela posé, revenons à l'équation ( i), nous aurons, en développant

d'après la formule de Tajlor, les deux fonctions qui figurent au

premier membre

(5) /„(.+., =2; — (tVttt^'"-^^-^'

t '5^' ce qui donnera, pour j; = «, la formule (19) du paragraphe \ ' Soit, dans (5), a = o, il résulte le développement remarque

uable

(fi) f,(x)=y^

posons, dans (5), a= — i et c-|-i au lieu de x, nous aurons de même

En second lieu, soient \Y ,^{x)^ A„] et \fn{x)^ a,i\ des suites correspondantes de seconde espèce, savoir

(8) F„(a7-+- a)-t- F„(j7 + a — I) =/„(.r -+- a) («^oj,

CHAP. III. — LES StITKS HARMONIQI ES. 49

nous aurons de même

(9) F„(.rH-a)=]^E„,(a)/,(.r),

d'où, en posant a = o, puis appliquant les valeurs numériques indiquées dans les formules (i5) et (i6) du paragraphe XIII,

ce qui donnera

JfC

Ao= ;^ao,

savoir les valeurs des A^, tirées des équations (28) du para- /• ^0

graphe XI'.

Quant aux fonctions /«(j:"), nous aurons, en vertu de (8),

M2I f^{x + a)=2^ jj ^F„,(a),

ce qui donnera immédiatement ces deux autres développements

Soit par exemple

respectivement

nous aurons ces deux développemenls remarquables

^ ' i .jLd^ M 2* -4-1/ '.*"'■*

Les hypothèses

F„(.r) = (.r -+- i)B„,(^j — (rt — i)B„(^), I*"//. ( ■'P ; = ^■£• + I ) Ii:«(d;) — (/i -4-i)E„+.,(-j?),

qui correspondent à

respectivement

fnix)= K„Cr),

donnent, en vertu des valeurs numériques indiquées dans les for- 1 , L\ Av^ C ^^1^65 (20) du paragraphe XII et (18) du paragraphe XIII,

(— 1)^(25 — l)B, (X-^ , |« 2,V-H1 ^«-2.-Hl

■yi (—1)^(25 — I iiiL (2i)!

(is)\ {n^'>.s-\-\)\

où il faut supposer naturellement n^i.

, r^ Dans le paragraphe XVII, nous avons à donner deux développe-

» / 1,\ ments analoerues à (17) et 18).