XV. — Théorème de Jacobi

Revenons maintenant aux équations aux différences finies q ni figurent dans les définitions des B„{x) et des E„(x), savoir

Unix) B„(;r - I) = ^^^^ (n^y),

puis mettons — J7 au lieu de x, il résulte, en vertu des expressions y . .

des B„(a7) et des E«(.r), trouvées dans les paragraphes Xll et XIII, /^^■{'^/ / ' respectivement **^^('^)/'"

(- 1)'' B„(- x-i) = {~ lY ^n(-T) -f- ^^"__\y = B„(ar) (n^i), (— i)«E„(-:r — i) = (-i)"-iE„(-.r)+^ = E„(x) (nlo).

Remarquons encore que Bo(x) a une valeur constante, nous aurons le théorème suivant :

I. Les polynômes Bn{x) et Ert(.r) satisfont tous deux^ quel que soit Vindice /i, aux équations fonctionnelles

Jacobi (') a indiqué, évidemment pour la première fois, la pre-

(') Journal de C relie, l. l'2, i834, p. 267.

Sa PREMIÈRE PARTIE. — DES CLASSES DE POLYNOMES ENTIERS.

mière des équations fonctionnelles (i) qui correspond à la fonction

(2) 6,„(:r)=B,„(x)+^-=^^ («âi),

c'est-à-dire précisément l'équation fonctionnelle en question pour une valeur paire de l'indice w.

Plus tard, la formule générale concernant les B„(x) est trouvée par Dienger (♦), Malmsten (2), Raabe (='). La dernière des équations fonctionnelles (i) s'est évidemment présentée aux regards de Raabe (*); cependant, il n'a pas réussi à formuler explicitement l'expression fonctionnelle en question.

Introduisons maintenant, dans (i), a/i + i au lieu de «, puis posons .r ^ — - , il résulte

ce qui donnera immédiatement

Cela posé, nous avons à étudier la valeur numérique

(4) En=i—i)"{in)\i^'^^^E,n(~'-^ (/l^l).

A cet effet, introduisons tout d'abord, dans la formule (i3) du paragraphe XIII, .r = — -, puis posons 2/1 au lieu de ?i, nous aurons immédiatement

{^) Journal de Crelle, t. 34, 1847, P- 99- (^) Ibid,, t. 35, 1847, p. 64.

(3) Ibid., t. 42, i85i, p. 354. — Mathematische Mittheilungen, t. I-II, p. 48-4')- Zurich, 1857-1808.

{") Math. Mitth., p. i38.

CHAP. IV. — LES FONCTIONS DE BKRNOIJLLI ET d'eULER. 53

de sorte que les E,, sont des nombres entiers. Quant à la nature de ces nombres, introduits dans l'Analyse par Euler (') et par consé- (juent désignés généralement comme les nombres d'Euler, nous aurons à démontrer le théorème suivant :

II. Les nombres d^ Euler sont, tous des positifs entiers impairs.

En effet, introduisons, dans l'expression obtenue pourEj/, (a?), en vertu de la formule (20) du paragraphe XIII, :r = — -> nous aurons

r'est-à-dire que E„ et ^n-i sont de la même parité, parce que lesT,, >ont des nombres pairs, abstraction faite de T, = i .

Dans nos recherches suivantes, nous avons à étudier plus amplement les nombres d'Euler.