I. Soit p un positif entier quelconque^ nous avons toujours
« = 0 s = ip — l
En effet, désignons par
(') Institutiones calculi di^erenlialis, p. 542. Pelrogra.l, 1705. — Opuscida nalyttca, t. II, p. 269-270. Petrograd, 178').
les expressions qui figurent aux premiers membres des formules en question, il est évident que ces polynômes forment des suites harmoniques. De plus, nous aurons immédiatement
ce qui nous conduira immédiatement aux résultats susdits.
Les formules (i) et (2) appartiennent à Raabe ( '), tandis que (3) est peut-être nouvelle; d'autres démonstrations du théorème de Raabe sont données par exemple par M. N. de Sonine (-) et par A. Berger (•'»).
Il est très curieux, ce [me semble, qu'il existe des polynômes entiers, d'un degré quelconque, qui satisfont à des équations fonctionnelles de la forme susdite. Or, il est facile de démontrer que. abstraction faite d'un facteur constant quelconque, les Bn{x) et les ^„{x) sont les seuls polynômes qui possèdent la propriété indiquée.
£n nous bornant à l'étude d'une seule des équations fonctionnelles susdites, par exemple de la première, nous supposons, par conséquent, qu'il existe un polynôme entier F(ic), du degré m, qui satisfait à la condition
où p est un entier plus grand que l'unité.
Cela posé, il existe un développement de la forme
(5) F(x) = aoB„,(x) + a, B,„-i(x) -+-.. .-h a,n Bo(t),
(') Die Jacob Bernoullische Function, p. 28-28. Zurich, 1848. — Journal de Crelle, t. 42, i85i, p. 356-357. — Mathematische Mittheilungen, t. I-II, p. i34. Zurich, i857-i858.
(2) Journal de Crelle, t. 116, 1896, p. i33-i34.
(^) Acta mathematica, 1891, t. 14, p. 260.
CHAP. IV. — LKS FONCTIONS DK BERNOUI.LI ET D'eULER. 5i
OÙ les coefficients ag sont des constantes par rapport à x^ bien déterminées du reste, ce qui donnera, en vertu des formules (i)
et (4),
F(a:) = 2 «./>*• »«/-.-(^), d'où, en vertu de (5), savoir-
de sorte que nous aurons finalement
(fil F(x) = /,Bn(x),
où A" est une constante quelconque.
De plus, il est très curieux que l'existence d'une seule équation fonctionnelle de la forme (4), savoir pour une valeur spéciale de p, entraîne l'existence des équations de la même forme, où jy est un positif entier quelconque.
Introduisons maintenant, dans (i) et (3), /> == 2, respectivement /> = I, puis remplaçons n par /t -h i , il résulte les deux formules spéciales
d'où, en additionnant les deux formules ainsi obtenues,
Posons ensuite, dans (8), a7=io, puis introduisons 2/î — i au lieu de /i, nous aurons immédiatement le théorème suivant, dû à Euler ( ' ) :
II. Le fi""'"' nombre de BernouUi B„ et le n'^'"" coefficient des tangentes T„ sont^ pour une valeur quelconque de /?, liés par la
( ') Opuscula analylica, l. II, p. 2-3. Petrojjrad, 17S5.
56 PREMIÈRE PARTIK. — DES CIASSK8 DK POLYNOMES ENTIERS.
relation
^^' an
La formule que nous venons de démontrer est intéressante parce qu'elle touche à la question concernant la nature des nombres de Bernoulli, en indiquant que l'expression qui figure au second membre est un positif entier. Dans nos recherclies suivantes, nous avons à étudier plus profondément la question susdite.
Revenons maintenant à la formule (i), puis appliquons les valeurs numériques, indiquées dans les paragraphes XII et XIII, savoir :
( Bo(o)=i = Bo(-i), B2„(o) = B,„(-.)
(lO) ^
B,(o) = -Bi(-i)= -, B2„^i(o)= B,„+K-i)=:o,
Eo(o) = Eo(-i) = -, E2„(o) = E,„(-i)
nous aurons immédiatement
tandis que la formule correspondante, pour une valeur impaire de l'indice, est, en vertu du théorème de Jacobi, une trivialité.
Il est évident que la formule (12) nous permet de déduire une suite de valeurs numériques.
En premier lieu, soit A = 2, nous aurons, en vertu de (12),
tandis que nous trouvons immédiatement
On voit que ces deux formules forment un supplément nécessaire aux valeurs numériques indiquées dans le paragraphe XV,
