CHAP. IV. — LES FONCTIONS DE BERNOILLI ET D EULER
(i5), (16), (17) du paragraphe XVI, les deux développements h> Ofr-'^yr,
n\ y ' ^ {■>-S)\ 2"''*' ' ' (Il — 'i.s\\
qui sont dus à Raabe (' ) et qui nous conduiront à plusieurs autres développements des ^n{x) et des ^^{x).
En premier lieu, posons (^ — i) au lieu de x^ nous aurons
/ a; — I \ .r« V^ ( — I )•"' ( ii^*' — 2 ) H*- a:" - -*"
En second lieu, posons, dans (1) et (2), 2/1 au lieu de /«, puis appliquons l'identité évidente
il résulte tout d'abord
2/1)! ^ {is)
(2/1 — us)!
(') Journal de Crelle, t. 42, i85i, p. 355. — Matheniatische Mittheilungen, t. I-U, p. i33. Zurich, i857-i858.
Go PREMIÈRE PARTIE. — OES CLASSKS DE POLYNOMES ENTIERS.
d'où, en ordonnant d'après les puissances de la quantité (x^-i-x).,
où nous avons posé, [)our abréger, ( a«,o = « ,
je n'ai pas réussi à donner sous forme simple les coefficients a„
et?.,.-
Soit particulièrement a; égal à un positif entier, Jacobi (') a démontré l'existence d'un développement de la forme (5).
Cherchons ensuite les dérivées des deux membres des formules (5) et (6), nons aurons les développements analogues
dont le premier, pour une valeur positive entière de l'argument x., est dû à Prouhet (-).
En se rappelant la valeur de B^j(o), en aura, en vertu de (5)
(') Journal de Crelle, t. 12, i834, p. 571. Voir aussi Nouvelles Annales, l.\\\, 18^48, p. 448; t. X, i85i, p. 198-199. {') Nouvelles Annales, t. \, i85i, p. 199-200.
CHAI». IV. — LES FONCTIONS DE BEKNOULLI ET D EULEB. 6l
d'où il résulte, en introduisant les expressions correspondantes liivrs (le (-;), ces deux formules bien connues :
dont la dernière appartient à Euler ( ' ),
Les développements (6) et (lo) donnent, de la même manière,
d'où, en vertu de (8), les formules récursives bien connues :
dont la dernière, due à Euler (2), représente la première formule récursive connue pour les nombres d'Euler.
Appliquons maintenant les valeurs numériques (11), nous aurons, en vertu de (5) et (9),
tandis que les formules (i4) donnent de même, en vertu de (6)
et (10),
!Ei,i(x) = x(x-^i)hin-t{x) (rt=l),
E,n^i(x)= (x4--)k,n(:^} (nèo).
(') Opuscula analylica, t. II, p. 261. Petrograd, 1785. (') Ibid., p. 269-270.
62 l'KKMiÈRE PARTIR. — DES CLASSES HK l'OLVNOMKS ENTIERS
Dans ces quatre formules, les
fm(^), gtni^)-, h,n{x), k,„{x)
désignent des polynômes entiers d'un degré égal à l'indice.
Revenons maintenant à la formule (i), puis introduisons - a;, respectivement - (.r — i) au lieu ce J7, nous aurons, en additionnant,
respectivement soustrayant les deux formules ainsi obtenues, puis appliquant les formules i^'-j ) du paragraphe WI,
(19) 2Bn(a7) = 1-. h>,
\'i.s)\ [a — 'is )\
(^ + ,)«+! a»«-ri .r-, ( , y , .^2.s-__ 2)B, fx-H i)«-2.?+.i a:''-2*-^i
' f 20 ) -i En(X ) — — ; h 7 •^ — ; ■ '■ -^ -;
où il faut supposer n^i.
L'analogie de ces deux formules et des formules (17) et (18) du paragraphe XIV est évidente.
Posant, dans (19) et (20), ^ z= o, on retrouve les deux formules
récursives (12) et (i3), tandis que l'hypothèse :r = —- donnera, pour une valeur paire de «, savoir, en introduisant 2/i au lieu de /?,
{'i-i) (-i)''C^-«-Hi)E;,= r+ 2 (-O'C"!^^') 22^(2"- •2)B,.
Il est évident que l'on pourra déduire, en vertu des autres valeurs numériques indiquées dans le paragraphe précédent, un nombre de formules analogues à (i) et (2). Nous nous bornerons à mentionner les cas suivants :
Appliquons les identités évidentes
CHAP. IV. — LKS KONCTIONS DE BBRNOULLI ET d'kULBR. 63
nous aurons, en vertu de la formule de Tajlor,
2 / Jmd {Il S)\
>ù, en addilionnanl,
„„(.,H-n.(.-i)=.2feêr-B=.(-i)
L'identité
donnera de même
Gela posé, soustrayons les deux formules (aS) et (24), puis appliquons les valeurs numériques indiquées dans les formules (i3) et (20) du paragraphe précédent, il résulte
d'où, en posant r = o, puis introduisant 2 n + i au lieu de /i,
