XVIII. - Développements divers

Les suites correspondantes, étudiées dans le paragraphe XIV, nous fournissent un simple mojen pour déduire, d'un seul coup, une suite de formules, autrefois démontrées séparément et pardes méthodes différentes, et beaucoup d'autres.

A cet effet, prenons tout d'abord pour point de départ les deux identités

B,(.)^B.(.„ = ^-..v(^^ii;^

,) Jv /-^>^-^^'

.^ (25 -t- l)! 2'-'-'+' (rt — 2S — l)! ,s— 0

tirées directement des expressions explicites, trouvées pour les fonctions B„(x) et E„(j7), nous aurons immédiatement les développements

(î) -Î.B„(^) = E„(ar)+VLjilJJ!£E„j,(a:),

En second lieu, les formules (■y) du paragraphe XVI donnent de

même

De plus, les deux expressions

CHAP. IV. — LES FONCTIONS DE BERNOULI.I ET d'eULEB. 65

ciant déterminées à l'aide des formules (i3) du paragraphe XIII cl (4) du paragraphe XVII, il résulte les deux développements

analogues aux deux précédents, mais plus compliqués.

(^ela posé, nous aurons à généraliser beaucoup les deux formules I ^4) du paragraphe XII et (20) du paragraphe XIII, formules que ir/'^^ t^f nous écrivons sous la forme

En effet, soit j' une variable complexe quelconque, je dis que nous aurons ces deux formules beaucoup plus générales :

- I (x ^ y -^ i) En{x -hy ) — ( n -^ i) E„^i( X -h y) =^lls(r)En-si^).

La démonstration est évidente, parce que les polynômes qui figurent aux deux membres des formules en question forment, regardés comme fonctions de y, des suites harmoniques, dont les éléments sont égaux, deux à deux, pour >- = o; c'est-à-dire que les formules (7) et (8) sont des conséquences immédiates du théorème VI du paragraphe XI.

il est évident que les formules (3) et (4) sont susceptibles d'une

iiéralisation analogue. En efiet, les formules en question se pré-

utant aussi sous cette autre forme

2"-» B;, (^^) =^ Esio) B„,(a:) =^ B,(o) E«-,(x),

NIELS N1F.I.SKN

66 PREMIÈRE PARTIK. — DES CITASSES DE POLYNOMES ENTIERS.

on aura immédiatement la formule beaucoup plus générale

(9) in-^Bn{^-^^=^B,.s(x)E,{y).

Gela posé, introduisons dans les trois dernières formules 2/î au

lieu de n, puis posons j' = — a? — i, il résulte, en vertu des équa-

r^ lions fonctionnelles (i) du paragraphe XV, les trois identités très

curieuses

(lo) > -iyB,(:r)B2„^,(a:)- '

( 2 rt ) !

(2/lj! 22«+2'

Appliquons ensuite les valeurs numériques trouvées dans le paragraphe XVI; il est évident que l'on peut déduire, à l'aide des formules précédentes, un grand nombre de relations entre les B„, Trt, E„. Dans ce qui suit, nous nous bornerons aux plus simples des relations susdites.

Appliquons tout d'abord les trois dernières identités, Thypothèse X := o donnera, en vertu de (lo) et (ii), les deux formules élégantes

(i3) (2n + i)B„= ^ Q"JB,B„„

dues à Euler (') et trouvées déjà dans notre introduction des ^nix) et des E„(a7) respectivement; la formule (12) donnera une trivialité pour ^ = o.

(') 1 nstitutiones calculi differentialis, p. l\i(>^ p. 49^- Pelrograd, 1755. — Opuscula analytica. t. II, p. 266, p. 270. Petrograd, 1785.

CHAP. IV. — LES FONCTIONS DE BERNOULLI ET d'euLER. 67

Soit ensuite x = , il résulte de même

i5) [(2n — 3)2î''-f-4]B„= y C^'^Va»* — 2)(2*"-»' — 2)B,B„„

Quant aux formules ('7), (8), (9), les hypothèses a? =: o, j'^ — donnent

,8) [(2rt-i)2î''-4rtJB„= 2 ('J")(2"'--^'^^»)B.B„„

la formule (^16) est due à Scherk ('). Multiplions par 2-*" la formule (i3), puis additionnons et soustrayons de (i8j la formule ainsi obtenue, il résulte respectivement

Posons encore, dans (7), x = o, y^ — -, il résulte

(') Mathematische Abhandlungen, p. 6. Berlin. 1825.

(24 ) 7. /l( 2 AI — I ) E„i -H [ a « ( 2'" — '). ) — 2^" 1 B„

tandis que les hypothèses x =1 — -,y=r — - donnent

(26) 2/i(2/l — IjE„i— (2/H- 22")(2Î«— 2)B„

il est évident que les hypothèses a:=: — -,j' = — -et a:=: — -. j' = — -donnent d'autres formules analogues, mais plus compliquées ; c'est pourquoi nous nous bornerons à indiquer l'existence de ces formules.

Revenons ensuite aux développernents (i) et (2), les hypothèses

a: = o, ^ =: donnent

de plus, nous retrouvons la formule (20).

Quant aux développements (5) et (6), nous aurons, en posant ic = o,

(3o) E„-«T„= V (Ts)^sB„^^

CHAP. IV. — LES FONCTIONS DE BERNOULM ET d'eULER. 69

Il esl évident que les formules précédentes permettent de déduire plusieurs autres d'une forme assez simple. En eflet, additionnons (l'j) et (28), il résulte

(,"-.-...)T„='2:"ct"i:)^"'-"T«''— •

soustrayons ensuite (17) de (25), nous aurons de même

tandis que nous trouvons, en soustrayant (i5) de (26), (35) (.2„i)22«E„,- (22«^4,i 4)T„

XIX. - Développements d'un pol3mome quelconque. Soit maintenant

oa?"-f- an^xx"- '-4-. . .-t- a„^n-\x -+- «a

un polynôme quelconque du «'*"* degré, les coefficients a.,, p et j3«,^ des deux développements

p=rO

sont, abstraction faite de a,j „, déterminés, en vertu des formules (i4)

Il , "iK^ **^t • du paragraphe V et (8) du paragraphe VI, parce que les développements en question donnent immédiatement

Une autre détermination des coefficients a.,, p et ''^„ p peut être établie à l'aide des formules de Tajlor

En effet, soit h = — i , on aura, en vertu des équations aux différences finies qui figurent dans les définitions des B„(ip) et des

^' m\-'Zd (5 + 1)! '

la première de ces deux formules est, pour une valeur positive entière de x, connue par Euler ( ' ).

Cela posé, développons, en vertu de (6) et (7), toutes les puissances qui figurent au second membre de (i), puis ordonnons d'aprèsles B„j(a7), respectivement d'après les E„i(.r), les expressions ainsi obtenues, il résulte, pour les y.„^pi

8) »..„Jf<-"""-^^,'>'°---' (oipén)

(') Institutiones calculi différent ialis, p. /(06, Petrograd, 1755.