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72 PREMIÈRK F>ARTIE. — DKS CLASSKS DE POLYNOMES ENTIERS.

Cela posé, il saute aux jeux que les deux classes de développemenls que nous venons d'étudier, savoir les formules (2), (3) et les formules (i3), (14)5 sont d'une nature entièrement différente.

En effet, soit v i /< , on aura, en vertu de (2) et ( 3 ) ,

(18) fM(o,)= 2 %,,>'P^n-,>-.(^),

tandis que le même procédé, appliqué aux développements (i3) et (i4)? donnera des formules obtenues de (i3) et (i4) en posant n — V au lieu de n.

Introduisons maintenant, dans les quatre développements susdits,

nous aurons évidemment des formules récursives pour les B«, T„, E„, formules qui sont d'une nature entièrement différente, selon que nous prenons pour point de départ les formules (2) et (3) ou les formules (i4) et (i5).

En effet, soit par exemple x= o, on aura, en vertu de (a) et (3),

(20) an,n = - 'èn,n + 2é ( 2 .vV g ! •2^^^^ ^^""

tandis que les développements (i3) et (i4) donnent

^-) «--::^'-i(i^Bi^

CHAP. IV. — LKS FO^■CTIO^S DE BERNOt'LLI ET d'eULER. 78

Dans ce qui suit, nous désignons comme régulières les formules récursives qui proviennent des développements d'un polynôme harmonique, tandis que les autres formules récursives seront désignées comme irrégulières.

Cette définition adoptée, il est évident que les formules récursives développées jusqu'ici sont des formules régulières.

Pour obtenir des exemples des formules irrégulières, étudions le polynôme

nous aurons les développements

OÙ nous avons posé pour abréger

Soit maintenant, dans ( 28) et (24), Jc = o, nous aurons

•i^-'Hn'h'V^s

introduisons ensuite, dans ces deux formules récursives, n = 2m, respectivement « = 2m-f-i, puis soustrayons les formules ainsi obtenues, il résulte

L'hypothèse x =^ donnera de même

d'où, en soustrayant les formules (26) et (3o),

posons ensuite, dans les trois dernières formules, /î=2m, /?=2m-|-i, puis soustrayons les formules ainsi obtenues, il résulte d'autres formules récursives d'une forme plus simple.

En dernier lieu, posons, dans (26), X ^= — y, a: = — 7, nous

aurons, en soustrayant les deux formules ainsi obtenues,

XX. — Des produits Yinix)V^,,{x), B„(^) Ep(a7), E„(a:)E;,(a;).

Dans le paragraphe XVIII, nous avons donné des généralisations #1/1 t^l , ^^^^ étendues des formules (24) du paragraphe XII et (20) du para- ^ f • graphe XIII, formules que nous avons à généraliser ici d'un autre

point de vue.

A cet eflet, posons, pour abréger,

Jn{X)- ^1 +^ {2S)\{n-1S)\

CHAP. IV. — LFS FONCTIONS DE BERNOULLI ET d'eULEB. 75

et

f «^«^^^- Zrf (25 + !)!»"+« (/l->.5-l)! 1 5 = 0

nous aurons, en vertu des expressions de ^„{x) et de E,^(:r),

/ I ar"~' l B„(a-) =/„(a;) -h - -.1

ce qui donnera immédiatement

XP gn{x) , X"gp{x)

p\ ni

(5 I B„(a-) Bp(a:) — B„('a- — i ) B,,(a7 — i) =

(f. I Kn{x)E,j(x)— En(x — i)Ep(x — i)

Cela posé, la formule (5) donnera immédiatement un développement de la forme

H„(>)B,,(^)= iin.p+(""^/j iin+p(x)

y}.=z2ïzll,(-^p—^-^\Bn.„..s(x).,

(25)! \ rt — I

où la constante K„ y, se détermine comme suit :

Cherchons les dérivées des deux membres de (8), puis appliquons l'identité

D^[B„(a;)B,,(x)J = B„,(^j Bp(a-) -4- B„( j- 1 Bp,(a7),

yC) PREMIÈHE PARTIE. — DES CLASSES DE POLYNOMES ENTIERS.

nous aurons, en développant, d'après la formule (8), les deux produits qui figurent au second membre,

K„,,/,+ K„,p i= o, ce qui donnera

Kn,p = — Kfi-{~\,i,-i = ( — l)/^~l Kn-h/)-l,1-

Or, posons, dans (8), /? = i, nous retrouvons la formule (24) du h, hh • paragraphe XII, ce qui donnera

Kîv— 1,1

Kjv.i = o, de sorte que nous aurons le résultat général

/K„,/,= o {n-^-p = ik -ir i),

où A désigne un positif entier.

Soit, dans (8), x égal à un positif entier, la formule ainsi obtenue est due à Lucas ('), tandis que feu M. E. Lampe (^) a étudié des formules plus générales de ce genre.

Posons, dans (8), p = n, ce qui donnera k = /i, nous aurons

2(— I)*-1B, /•î/l — 2JS- l\ , ^

tandis que l'hypothèse p =z n-{-\ donnera

in- is+l

(') Nouvelles Annales. •>.' série, t. 14, 1875, p. 487-495. (^) Journal de Crelle, t. 84, 1878, p. 270-272.

CHAP. IV. — LES FONCTIONS DE BBRNOt'LLI KT D KULER. 77

La formule (6) donnera de même

i-t) En(x)Ep{X)

OÙ la constante K^ ^ j)eut être déterminée par la méthode appliquée dans le cas précédent; on trouvera de cette manière

: K'„p = 0 (/l -+-/>= iA -4- I),

OÙ k désigne un positif entier.

Soit particulièrement, dans ( 1 2 ), jo = /i, /> := /z -4- i , nous aurons respectivement