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îa:)r7r')""'''^'

En dernier lieu, la formule (17) donnera, pour x = o,

On voit que les formules (22) et (28) ne contiennent pas les n — i premiers nombres d'Euler et que les formules (24) et (26) ont une propriété analogue relativement aux coefficients des tangentes, tandis que les seconds membres des formules (20) et (ar) ne contiennent que les n premiers des coefficients des tangentes.

Les fonctions fn{^) et gn.{x)., introduites dans les formules (i) et (2), nous permettent d'étudier des problèmes dont un seul est proposé par M. N. de Sonine (* ).

A cet effet, je dis qu'il existe une identité de la forme

OÙ les y.,i s sont des constantes faciles à déterminer.

(') 5a/- les polynômes de Bemoulli et leurs applications, p. 16, Varsovie, i* (russe).

8o PREMIÈRE PARTIE. — DES CLASSES DE POLYNOMES ENTIERS.

En effet, on aura immédialement, en vertu de (5),

^'^'^' (2rt — i)'. Z^ [n — s — i]

et 11 est évident que le second membre de cette formule ne contient que des puissances de x de la forme x"^'^p~*, de sorte qu'il est possible de déterminer successivement les a.,, g. On trouvera tout d'abord

ni A>'

'■■" (2/î)!' et généralement la formule récursive

^ ^' {n—p)\{n—p — i)\ ^ (rt — 5 — I)! ('2/? — 25)! (n — 2jD -h 5)!

où il faut supprimer, au second membre, les termes dans lesquels n — 2/?-f5<;o. Le coefficient a« „ se détermine de (26), en j posant X = o.

Cherchons ensuite les dérivées des deux membres de (26), nous aurons de même

(3o) B^n-li^)^ ^ 20Ln,s'Bn-s(^)Bn-s-l{'^)-

Les coefficients qui figurent dans les deux autres identités

(3i) BJ„(:r)=^P„,JE„,(a7)]^

(32) E,,{X) = V y„^ B„,(a7) En-s(x)

se déterminent par un procédé analogue.

En effet, on aura, en vertu de (6) et (7), respectivement,

CIIAP. IV. — MÎS FONCTIONS DE BEKNOULLI ET û EULKR. 8l

OÙ il faut supprimer, au second membre de (34), le terme qui conlient .A'"o(^)-

Cherchons ensuite les dérivées des deux membres de (3i), il résulte

B2«-j(ir)= 2 "^■T«,*E«-*(a')E„-.,-,(a:

MELS NIKI-SEN