XXI. - Propriétés fondamentales

Plusieurs des résultais, trouvés dans le Chapitre précédent, se présentent comme des conséquences immédiates de l'équation fonc- ^0 t tionnelle de Jacobi; généralement, les polynômes entiers

assujettis à satisfaire à la condition

mais étant du reste aussi arbitraires que cette condition le permet, jouent un rôle essentiel dans la théorie des fonctions de Bernoulli et d'Euler, de sorte qu'il faut étudier plus amplement de tels polynômes, désignés, dans ce qui suit, comme polynômes symétriques.

Cette définition adoptée, il est évident que les ^,i{x) et les E„(.r) sont des polynômes symétriques, quel que soit l'indice n.

Introduisons maintenant dans (2), ^ = 0, a? = — - > il résulte respectivement

ce qui donnera, en remplaçant n par 2/1 -f- i ,

c'est-à-dire qu'un polynôme symétrique quelconque d'un degré

impair est toujours divisible par x

CHAI». V. — LKS POLYNOMES SYMÉTRIQUES. 83

Quant aux déi-ivées de/,, (a?),

s = a il résulte, en vertu de (2),

(- I )"/'/,'-'' {-X-l)=: /// 'Pix),

ce qui donnera immédiatement

(tu, ce qui est la même chose,

Soit, dans (6), /> = /t, il résulte pour une valeur paire de /i, savoir en introduisant 2/i au lieu de n,

Les formules (7) représentent la condition nécessaire et suffisante qui doit être remplie par les coefficients d'un poljnome symétrique. En effet, il est évident que la 'condition susdite est nécessaire; d'un autre côté, l'identité

donnera, en vertu de la dernière des formules (5), = 2 (x^ -)

ce ([ui conduira immédiatement à la formule (2), c'est-à-dire 'que la condition susdite est suffisante aussi.

Quant aux équations (6), on voit immédiatement qu'elles- ne

sont pas indépendantes entre elles. Pour juger de la portée de ces conditions, nous avons à étudier, d'un autre point de vue, l'équation fonctionnelle (2).

A cet effet, introduisons, dans l'équation en question, — x au lieu de .r, il résulte ^

ce qui donnera immédiatement

(10) fn{x)-f„[x-x) = ~,^ a„,2,+i^«-"-S

.ïr=0

et il est évident que ces équations aux différences finies représentent des conditions nécessaires qui doivent être remplies par un polynôme symétrique.

Cela posé, nous aurons les développements dey„(x) d'après les fonctions de BernouUi et d'Euler :

où nous avons posé pour abréger

ce qui est une conséquence directe de la formule (9) du paragraphe XIX.

Or, remarquons que les polynômes Eft 2ç(.r) satisfont tous à la condition (2), nous avons donc démontré le théorème suivant :

I. V équation aux différencea finies (ri) représente la condi-

CIIAP. V. — LES POLYNOMES SYMÉTRIQt'ES. S")

tion suffisante et nécessaire qui doit être remplie par un polynôme symétrique quelconque.

Quant à l'équation (lo), elle représente évidemment une condition nécessaire, mais on conclut de la formule (12) que cette condition n'est pas généralement suffisante aussi.

En effet, soit, dans (12), n un nombre pair, les deux membres de cette formule satisfont évidemment à la condition (2), ce qui s'accorde bien avec le fait que /«(.r) -f- Â', où k désigne une constante quelconque, est un polynôme symétrique, pourvu quey„(j:) le soit.

Dans le cas où n est supposé impair, on voit, en vertu de la dernière des formules (5), quey«(.r), définie par la formule (12), n'est symétrique que dans le cas où

car toutes les fonctions de Bernoulli qui figurent au second membre

s'évanouissent pour ic =

Soit maintenant /„(x) un polynôme symétrique quelconque, les deux développements (12) et (i3) existent et nous aurons, par conséquent, en égalant les coefficients de la même puissance de .r.

/ n — ip \ XT" N fn — is — 1\„

(.7) '-'>'^«,M,-^.=yr7^( ..." .:-. .)T,

.^2/>-î.<-HI y -2^ V.5 -1- I .« = 0

On voit que ces deux systèmes d'équations linéaires et homogènes entre les coefficients a„ j sont inverses l'un à l'autre. En effet, les formules (16) permettent de déterminer les a„2/) à l'aide des

tandis que (17) exprime les a„y,^i à l'aide des

««,0, «/i,2. •••, an,ip',

c'est-à-dire que le dernier coefficient, savoir a„ „, ne peut pas être déterminé, à l'aide des équations susdites, pourvu que n soit un

nombre pair, ce qui est, évident du reste parce que ce coefficient peut toujours être choisi arbitrairement.

Cela posé, nous venons de démontrer les deux théorèmes suivants :

11. Un qaelcour/uc des deux systèmes d'équations équivalentes (16) et (17) repr<'sente ies conditions suffisantes et nécessaires qui doivent être remplies par les coefficients a„, d'un polynôme symétrique quelconque du /?"""■ degré.

m. Le polynôme symétricjue

est parfaitement déterminé., pourvu (/ue tous les coeffiicients a„>^^ soient connus.

De ce dernier théorème on conclut immédiatement que le système d'équations linéaires et homogènes ( 7 ) est équivalent aux deux systèmes d'équations obtenues de (6), en y supposant/) pair ou impair. De plus, un quelconque de ces trois systèmes d'équations équivalentes représente les conditions suffisantes et nécessaires qui doivent être remplies par les coefficients d'un polynôme symétrique quelconque.

De plus, les formules (16) et (17) montrent clairement qu'il n'existe aucun polynôme symétrique , abstraction faite d'une constante, qui ne contient que des |)iiiss;inccs paires ou des .puissances impaires de la variable

En effet, l'égalité «„]= o entraîne toutes les autres égalités de la forme a^j, = o, pour o ^/? ^ // — i .

Il est évident qu'un polynôme symétrique entraîne des formules récursives pour les B,< et les T„. Inversement, prenons pour point de départ la formule récursive des nombres de Bernoulli

le polynôme

CH.VP. V. — LES POLYNOMES SYMÉTRIQUES. 87

est évideinmonl symétrique, et nous aurons, en vertu de (18),

Soit cnstiile

une formule récursive des coefficients des tangentes, le polynôme

est symétrique, et nous aurons, en vertu de (21), (■}.3) ' .y(o) = (— 1)"-'3„'22/'.

Gela posé, il est évident qu'il existe toujours des polynômes symétriques qui correspondent à une formule récursive pour les B,j et pour les T„.

Revenons maintenant au polynôme symétrique général fi„[x) d'un degré pair, puis posons

( •'-4 » P2,, = ■>'"fin

nous aurons immédiatement

(2)» ^in — i^"ainAn— ^ (— I)''2*■«2«,.^■•

Posons ensuite, dans (i3), x =^ > il résulte de même

Quant à la formule (12), posons j? = o et ^ = > puis soustrayons les deux équations ainsi obtenues, nous aurons de même

P-in -■>■'"' a^.