XXII. - Les parties principales d'un polynôme quelconque

Soit

un polynôme quelconque du «"''"* degré, et soient

w + i polynômes symétriques assujettis à satisfaire à la seule condition que ^p{oc) soit toujours du y>'*""' degré, il existe une identité de la forme

(3) f{x) = aof„(a7) ■+- di.i9n-\(^} -+-...+ a„,9i(a7) -f- a„cpo(.r),

où les 71 H- I constantes y.p sont parfaitement déterminées. Posons ensuite

I /î(^) = a,cp„,(a^)-h a3cp„3(.rj-+-a5'f„5(a;)-H...,

les deux polynômes ainsi définis sont symétriques; on voitque/, (x) est toujours du /?'*""' degré, tandis que le degré de/2(a:') est au plus égal à 71 — I , et de la forme /? — 2/> — i . Cela posé, l'identité

tirée directement de (3) et (4), donnera par conséquent

d'où immédiatement

ce qui donnera le théorème suivant :

I. Béçelojjpo7is, co7ifo7-7né777e7it à (3), U7i poly7io7ne quei- C07ique f{x)^ les deux poly 710771e s J\ [x) et f^ix)^ définis pa7' les

CHAP. V. — LKS POLYNOMES SVMKTRIQIES. 89

formules (4), seront toujours les mêmes, quels que soient les polynômes symétriques o,n{oc).

Dans ce qui suit, nous désignons pour abréger comme parties principales de f{x) les deux polynômes /, (x) et f^ix), définis par les formules (4) ou (7 ).

Soit maintenant y"(^) un poljnome symétrique, nous aurons, en vertu de (6 ),

/g ( ar ) = o,

ce qui donnera

conditions qui sont équivalentes, quels que soient les polynômes' symétriques t^mix).

De plus, nous aurons le théorème suivant, déjà indiqué dans le paragraphe XX :