Soiff(x) un polynôme symétrique du degré n, et soient

des polynômes symétriques quelconques, d^ un degré égal à V indice, il existe une identité de la forme

f{x) = ao?„(ar) -Ha,ep„2(a:) + a,ç„^., < ./■ - . ..,

OU les coefficients a.p sont parfaitement déterminés, pourvu que les polynômes susdits soient donnés.

Quant à la détermination des valeurs principales d'un polynôme quelconque, elle est identique à la détermination des deux expressions

Posons, en ellét.

90 PiJEMIERH: PAKTIK. — DRS CIASSES DE POLYNO.MKS ENTIERS.

nous aurons, en additionnant,

soustrayons ensuite les deux formules (9), posons — x au lieu de X^ puis multiplions par (—1)" les deux membres de la formule ainsi obtenue, il résulte de même

ce qui donnera, en vertu de (7),

<1 'Lzl

cest-à-dire que les deux valeurs principales des polynômes f(x) sont connues, pourvu que les expressions f(x)±f(x — ^i) le soient.

Cela posé, nous avons encore à démontrer cet autre théorème :

IIT. Soit fn[x) un polynôme symétrique du n"'""' degré ^ le polynôme entier ¥„{x)^ défini par V équation aux différences finies

a une de ses valeurs principales égale à - f„{x), et les deux polynômes

sont symétriques.

En effet, nous aurons, en vertu des formules (in et (i3) du

CHAP. V. — KES POLVNO.MKS SYMKTRIQCES. (Jl

[);iragraj)lie \\l, A ^^

(Hi ii{x) est un polynôme symétrique du degré ii — i au plus, Posons ensuite, dans (ii) et (i3), — x — \ au lieu de x, nous

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