I- \)"¥„i—X — l) = - fn\ X ) — g{x ) = fn{x ) - V,i{X

(•(' qui donnera immédiatemenl

M i . (—1 >«F„(— X — ■}.) — ¥nix);

("esl-à-dlre que les polynômes

sont tous deux symétriques.

Quant à l'équation aux différences finies

mG) F„(x)-Fn(x-l)^/n^l{x),

OÙ /",;, (x) est un polynôme symétrique du degré n — i, il résulte, (Il vertu des formules (lo) et (12) du paragraphe X\l,

I 171 Fn(x) = gn(x)^ -/„-,( J")-f-K,

ou gn{x) désigne un polynôme symétrique du «'*'"'* degré, tandis (jue K est une constante.

Soit maintenant n un nombre pair, -- fn-\{x) est évidemment

une des valeurs principales de ¥„ix)] dans ce cas l'équation (i\) subsiste encore, et les polynômes définis par les expressions (i5) >ont symétriques tous deux.

Supposons, au contraire, 11 impair, l'équation (i4) doit être rem- |)lacée par cette autre

(le sorte que les polynômes correspondants G„{x) et H„(j?) ne sonti >^\ métriques que dans le cas spécial, où K = o.

92 PRKMIÉHE PAIITIE. — DES CLASSES DE POLYNOMES ENTIERS.'