XXIII. — Déterminations diverses des parties principales
Il nous semble utile de déterminer les deux parties principales du polynôme quelconque
développé d'après divers systèmes de polynômes symétriques, et d'indiquer, dans tous les cas, les conditions nécessaires et suffisantes, remplies par les coefficients a„^, pourvu que/„(a:) soit un polynôme symétrique.
1° Dans le paragraphe XXI noas avons étudié le développemeiit de f{^) d'après les polynômes de Bernoulli, ce qui nous conduit ^h'. aux conditions (i6) du paragraphe susdit;
2° Le développement d'après les fonctions d'Euler donnera les conditions (i'^) du* paragraphe XXI;
3° Ecrivons fni-^) sous forme d'un polynôme entier de la U'^^ ' variable x -\ — ; nou^ aurons les conditions ('j) du paragraphe susdit; t^Q , 4" Appliquons ensuite la formule (i6) du paragraphe XIV, savoir
V ,,,../ '" Vr.fc
1 résulte
(2) fni0C)^^^„J-
ou
tandis que nous aurons généralement
.< = 1 /, ^^ ■ dans ce cas nous retrouvons les conditions ( i ^ ) du paragraphe XXI ;
CIIAP. V. — I.KS l'OLY.NOMKS SVMKTUIQL ES. 9'i
5" Appliquons de même la formule (i5) du paragraphe XIV, h-^^
savoir
■is)
Art
nous aurons le développement
. fn(^)^y^^n,s
re — s + I
où
il faut admettre
.p— an,p .^ -^A
Bsa„ n-2i,
ce qui donnera les conditions (i6) du paragraphe XXI;
6° Il nous reste encore à étudier un développement d'un polynôme quelconque, développement qui est essentiel dans la théorie des polynômes symétriques.
A cet effet, prenons pour point de départ l'identité évidente
la formule binomiale donnera
ou. ce qui est la même chose,
<llzJi / i\s
94 PREMiÈEtK l'AKTlE. — DKS CLASSES DE POLYNOMES ENTIEBS.
d'où, en appliquant, sur tous les termes, la formule binoniiale, puis ■ ordonnant d'après les puissances descendantes de la quantité a^^ + .r, ^
dn x{^^-+- ^ y
nous avons posé pour abréger
Quant à la simplification de ces expressions, nous multiplions" par
X = Ix ^ I
les deux membres de (6), ce qui donnera le développement correspondant de la puissance .r"+'. De cette manière nous trouvons les formules récursives
[ dfi+i^^ — c,i^s-i d„^s,
où il faut supposer i^5^/i, tandis que nous aurons, en posant dans (6), ^ = o, respectivement x = — i ,
de plus, nous aurons évidemment
(lO) C2„,„=I, «?2,j+,,,j= I.
Cela posé, la conclusion de m à w -|- i donnera, en vertu de (9), les expressions générales
(il) Cnc=( ) . dn,s ={ »
CHVP. V. — LES HOLYNOMKS SYMETRIQUES. 95
de sorte que nous aurons finalement
,Lmk in — ).S \ s I
•x-^-^xf
[^osons ensuite, dans (12), — x — i au lieu de x. il résult(
^mà-in —•}.s\ s / '
<'e qui nous conduira à un développement des polynômes symétriques
Remarquons, en passant, que les expressions indiquées pour les deux coefficients c„ ^, et <;/„ ^, donnent les relations numériques
p -\- s \ Il n — p\
s / ■xn — -i.p\ p I
<-: 1 (../..^jcro^C'-r')-"-'
dont le cas spécial qui correspond k p = 0 est bien connu.
Revenons maintenant au polynôme fn{x), défini par la formule (1), nous aurons, en vertu de (12), un développement delà forme
(Ki
fn(^)=^^{n.s{^^-^xy^\^-^ ^j 2 ^".si^^+^y,
OÙ nous avons posé pour abréger'
^ / p -^ S\ -IP -h S
in) Y...== 2- ^~'H -^ j ^JT^TT. ""''»-" -.
(18) 8„,p= ■ 2 {-iy(^^'l')an,n-.p-s-U
Dans le cas /> = o, le terme au second membre de (17). qui correspond à .s = o, doit être a„^„.
Soit/2«(x), respectivement /aw+i (x), un polynôme symétrique, nous aurons, en vertu de (16), les conditions suffisantes et nécessaires
('9) ^in,/:>—0,
respectivement
conditions qui ne sont formellement identiques à aucune des conditions précédentes.
Développons, conformément à la formule (16), le polynôme
regardé dans le paragraphe XIX, l'identité évidente
2£jlJ-(p '^^) = (P'^^)— \ (p^^ — ^\
donnera, pour les coefficients, les expressions suivantes :
