XXIV. — Des zéros d'un polynôme symétrique
'Soiif,i{.x) un polynôme symétrique quelconque du n''''"'^ degré, l'équation algébrique
CHAP. V. — Li-:S POLYNOMES SYMETRIQUES. 97
'<t identique à celle-ci
(■ est-à-dire qu'il est possible de ranger les racines de Téqualion Misdite
.!.• sorte (|iM'
Dans le cas où n est un nombre impair, l' équation (i) a toujours la racine • Posons
le poljnome '^-ini^) est un polynôme symétrique du degré 2/j, de >orle qu'il s'agit seulement de résoudre les équations (i) dans le • as où n est un nombre pair. En appliquant la formule (16) du paragraphe XXIII, on voit que les équations en question se réduisent à des équations du degré n par rapport à la quantité X- -\- X.
Pour étudier, au point de vue des zéros, un polynôme symétrique, nous choisissons n nombres complexes
(4j . «1, ^2, '^■ii •••1 ««
qui satisfont, pour i^5^/i, aux conditions
où m désigne un nombre complexe différent de zéro, mais quelconque du reste. De plus, nous supposons les nombres (4) aussi arbitraires que les conditions (5) le permettent.
Soit n=iiq ou « = 2^-i-i,il est par conséquent possible de choisir précisément q des nombres a, parfaitement arbitraires; dans le dernier cas, où n est supposé impair, l'ensemble {l\) contient le
nombre -m.
Cela posé, il est évident que le polynôme ;
F,.(.,= (.^îij(x+^)...(x-.i-;),
MELS NIELSEN 7
du degré n par rapport à a?, est symétrique; nous aurons, en eflel. en vertu de (5), pour \'£s%n^
(7) -.r-x^'^=-(x+''ji^^).
Posons ensuite pour abréger
(8) {x ^ %i){x -\- rt-i) . . . {x -\- a„)'=N an,sX"-\
nous aurons évidemment
uu, ce qui donnera, en vertu des formules (12) et (i3) du pai graphe XXI,
, (va De plus, les conditions (6) et (7) du paragraphe XXI deviennent
I ici
(i3) \x-{-i)i>\an^„= 2 (-'/("Z^) ""'-'««,>■,
(/«^ tandis que les formules (16) et (17) du paragraphe susdit d(
CHAP. V. — LES POLYNOMKS SYMETRIQUES. 99
nent
^ / n— is — I \ rn^i'-^''an,is-i-i^i>-s
■).p — 7.5 / n — ip
ou il taut supposer i S /> ^ — — - > respeclivement o ;^ p ^ —
Posons, dans (i5), /> = o, nous aurons le résultat évident
mn
(17; a„., = a,-ha2-+-a3-f-...-Ha„= — -.
Supposons maintenant n pair, remplaçons il par 2/t, puis posons pour abréger
('18) Pî„= (aai — /n)(2a2— m).. .(2a,„— m) = (2mj2«F2„^— - j,
il résulte, en vertu des formules (aS), (26), (27) du paragraphe XXI,
s = ln — \
(19) Pî«— •^"'«î«,3/l= 2 (— ')''"'^-*'"^""''^2«,.«,
.5 = 0 J = rt — 1
(20) P2„--2»«aî„,î„= 2 (— l)''-*"2Î*""l'"-*-'«2«.2.-E„-,,
^ry f m\ 2"— 2*"— 1
(•21) F2„-2î«a,„,,„= 2, (-O'-'M-j 2«^+'aî„,,,^,T„,.
Étudions encore le polynôme entier
où <jr est un positif entier quelconque, nous verrons, en vertu de (7), que ^q(x) est un polynôme symétrique; posons pour abréger
S;.= a^-HaÇ-f-a^-f-.. .-I- a^,,
So = «,
IPO PREMIÈRK: partie. — OES classes de POLYNOMES ENTIERS.
nous aurons de plus
c'est-à-dire que les sommes de puissances S, satisfont à des relations obtenues de (i3), (i4)? ('5), (i6) en j remplaçant ai par ^, puis posant
ce qui donnera immédiatement le théorème qui suit, très remarquable, ce me semble :
I. Supposons que tes coefficients a„ ^ de V équation algébrique
satisfassent aux conditions équivalentes (i3), (i4)i ('■^)i (i^^)? les sommes Sr des puissances semblables des racines de cette équation^ prises à signe contraire, satisfont aux conditions analogues
0= 2 (-i)'-(''^;^')2''/nîp"-+iS„ (— i)i> S2P+1 — /n //) -f- - j S2/,
et inversement.
Dans ce qui suit, nous avons souvent à revenir à des formules de ce genre; c'est pourquoi nous nous bornerons à indiquer ici deux exemples des nombres spéciaux qui satisfont à la condition (5).
CHAP. V. — LES POLYNOMES SYMÉTRIQUES. lOI
i" Les termes d'une suite arithmétique a, a -h d, a-h-2d, ..., «-(-(« — i)rf; m = ia-h(n — i)d,
exemples :
2" Soit m un positif entier, l'ensemble des n^'f{m) positifs entiers, plus petits que m et premiers à m, satisfont à la condition (5).
