XXV. — Exemple. Polynômes de Cauchy

Les polynômes entiers

représentent une classe de polynômes symétriques très intéressants.

Soit /?= I , /?= 2, il résulte respectivement

( Tïr,(:r)=..r-4-i, de plus, il est facile de vérifier la formule récursive

ou, ce qui est la même chose,

W,(x)Wp(x)==W^^i(x)-^--^^Wp-,i^) (pli),

il la conclusion de m à m -+- 1 donnera sans peine la formule plus générale

\) W^(x)W,ix) = Wp^^(x) -^ ^y^p-ç(x) {plq).

d'où, en posant ^ = 2,

(5) (^x^-^x-^'^^W,Jx) = Wp^,ix)^^W„^,{x) (pl2).

Cela posé, nous aurons, en vertu de (3) et (5), l'identité curieuse

(6) Wn(^X^^.^,x) = ^^'^W,n(x\

de sorte que la définition (i) de W„(x) donnera

appliquons ensuite la formule récursive (3), nous aurons de même

Un autre développement général de W,i(x) peut être obtenu, en prenant pour point de départ la formule récursive (3), puis appliquons la conclusion de /? à ;/ + 1 ; de cette manière nous trouvons

Les trois dernières formules montrent clairement que les W„{x) sont, pour une valeur quelconque de l'indice n, des polynômes svmétriques. De plus, les mêmes formules donnent immédiatement les valeurs numériques

Quant à cette autre valeur numérique

(11; rt„=22"T

CIIAP. V. — LES POLYNOMKS SYMÉTRIQUES. Io3

nous aurons, en vertu de (ij et (9),

tandis que l'équation fonctionnelle (3) donnera la formule récursive ( 1 3 ) a„-i = a„ -+- a„2 ( n ^ 2 ),

d'où, en vertu des valeurs initiales

ao= 2, a, = I, les expressions générales

Remarquons, en passant, que l'équation algébrique

ni) ir„(.r) = o

a toutes ses racines négatives et inégales ( ' ).

Quant aux applications des Wn{àc) dans la théorie des nombres de Bernoulli. nous aurons les deux développements

.^ i fil — 2 5

'■2rn — %s — 1 \ ( /H — V, 5 — I ) !

XI ) ^TTTl ' B,„2,,(j:),

y m I 2 m — ■>. s \{m — 's^l , ) r V^n,-îs{x),

(') l'osons pour alirt'i:er

;,' cos n 0 = <^„ ( 2 cos 6 ) .

nous aurons

V'sl-à-dire que l'équation (i5) a les racines — cos' . (o =/) = « — i).

Les polynômes *„(^) sont étudiés par Cauchy {C^urs d'Analyse de TÉcole Polytechnique, t. I, p. 35o. Paris, iSac).

OÙ nous avons posé pour abréger

-^ (—1 )'«+•" m /im — s\

'" ~ ^ ( 2 m — s){ni — s -h i) ■?.*^ \ s )

de sorte que nous aurons

mais je n'ai pas réussi à déterminer, sous forme simple, la valeur de Kg».

Posons maintenant, dans (16), w = 2/i4-i, a7 = — t. il résulte, en vertu de (1 1) et (i4 ), la formule récursive

' y"(-- ■>■'"■ -^■)/4n-a. + ,X„ ' ^ An — -is -h i \ 2J-(-i /

où nous avons posé pour abrège

Posons, de la même formule, m=^in et a:^ = o, o^ = — -. puis soustrayons les deux équations ainsi obtenues, nous aurons

2{—\yin Un — 'is — \\^ =\ — (- 4« — 25 — iV 2J-I-I / "'■''"

En dernier lieu, cherchons les dérivées des deux membres de (16), puis posons m = 2// + i, a^ = o, il résulte

(.3) 'y 'jlI.iniIi:llll/i"-"'^ + ')B„,=

Quant à la formule (17), nous aurons, en posant m=.%n

CHAP. V — LKS POIANOMKS SYMÉTRIQUES. 1 05

tandis que les hypothèses m = in, x == — ~ donnent

On voit que plusieurs des formules récursives, que nous venons de développer, sont homogènes. Cherchons les dérivées d'ordre supérieur des deux membres des formules (i6) et (17), nous trouverons des formules récursives irrégulières d'une forme plus compliquée que l''s précédentes.