XXVI. — Propriétés fondamentales

Nous désignons comme régulière une suite harmonique [/«(ic), an]-, dont les éléments fn{^) sont, pour une valeur quelconque de n, des polynômes symétriques.

Cette définition adoptée, il est évident que les éléments fn{^) d'une suite régulière satisfont aux deux conditions

(0 {-x)"M-x-i)=/^{x) {nlo),

De plus, remarquons que l'élément général de la suite régulière se présente sous la forme

(3) fn(x)

'■\ (n-i)! in—p)\ ' • i!

1' D ^ , nous avons à introduire dans les formules du paragraphe^^Xl

ce qui donnera tout d'abord

(5) [,(,)/^]a,=. 2if:^; (^ = '^'

Remarquons maintenant que le groupe des formules (6) est équivalent à chacun des deux groupes obtenus de (5), en supposant pair ou impair le nombre/), nous aurons le théorème :

CHAP. VI. — LES SllTES REGULIERES. IO7

I. La suite harmonique [fn{x), a,,] est régulière, pourvu que ses éléments satisfassent, quel que soit n, a une quelconque des conditions

Les équations aux différences finies (lo) et (ii) du paragraphe XXÎ deviennent ici

'9) Ux)+MT-,)=a ^ ^l"j:l'', ■ Inio),

e qui donnera les deux développements

10) -fn(^) =7 .<^is+l^n-2s{^h

l/jT)=^a,,E,

valables pour une valeur quelconque de .r, parce que les polynômes y"„(j?) forment une suite harmonique.

Cela posé, nous aurons de plus, en vertu de (lo),

tandis que le développement (ii) donnera l'inversion de ces foruiules, savoir

(•3) (— i)"aj„+, =y

(,).Vrt,^.T„,+ ,

Les deux groupes de formules (12) et (i3) étant valables

pour /î=i, respectivement «^o, nous aurons le théorème

II. La suite régulière [/«(^), ««] est parfaitement déter minée, pourvu qu' une seule des deux suites ordinaires

., rt2„,

(ao^o).

soit connue.

Soit, dans la suite ( 1 5 ), «aw+t = o, n>\^ la suite régulière correspondante a l'élément général

tandis que l'hypothèse a2n= o, « = i, donnera

(17) /„(ar) = 2aoE„(a;),

ce qui montre clairement que les fonctions de BernouUi et d'Euler jouent un rôle essentiel dans la théorie des suites régulières.

Il est évident qu'une suite régulière quelconque conduira toujours à des formules récursives régulières pour les B„ et les T„. Soient inversement

( ao, «), aj, . . . , a,j, . . ., ^'^^ j K P„ P., ..., {in. ...

deux suites infinies, telles que nous aurons, pour /? = i, les formules récursives régulières

puis posons

!ao=2po,

les formules (12) montrent clairement que la suite harmonique [/ii{^)i ciii] est régulière, de sorte que nous aurons, en vertu de (i3), les formules récursives régulières pour les T„ :