XXVII. — Formules récursives incomplètes

Soit maintenant [Jn{^)} <^*«] une suite harmonique quelconque, nous avons à étudier les deux polynômes entiers

s = o s =zn

où m el q désignent des positifs entiers.

A cet effet, ordonnons, d'après les puissances descendantes de x, les deux polynômes en question, nous verrons que, dans F(x), le

IIO PRKMIÈRE PAKTIK. — DES CLASSES DE POLYNOMES ENTIERS.

coefficient de la puissance jp'"+"-A-n deviendia

où nous avons supposé k^m -\- \. Soit, au contraire, k~> m-\-\ . nous pouvons nous borner à supposer s^^k — m — i, parce que les autres termes s'évanouiront, ce qui s'accorde bien avec le fait que les termes correspondants de F(x) ne contiennent pas la puissance susdite de x.

Quant au poljnome G(x), le coefficient de la puissance x"^^"~'^ deviendra

où nous avons supposé k'S.m^ sinon nous pouvons supprimer les termes qui correspondent à 5 < A" — m.

Cela posé, il est évident que les expressions (3) et (4) ne sonl autre chose que des difTérences de l'ordre n prises des expressions de la forme

•|/,.(7) = a(a — I) (a — 2). . .(qt— /• -f-i) [-^fa; = ij.

Soit maintenant r^ i, on aura immédiatement

A, œr(a) = tp,.(a + i) — (p;.(«) = — r Or+x{t),

d'où généralement

A'f t^^rCa; = '■(/' — !!)•• -{r — n-\-i) (]>r-«(a ■+- n) (/'= n),

ce qui donnera finalement

CUAP. VI. — LES SUITES KEGULIKRES. t

Cela posé, il est évident que, dans F(j?), les coefficients

>()nt disparus, tandis que, pour qSn — i, Cm(x) ne contient pas les ( oefficients

8) «u. «1, </*, ..., or„,y i ;

soit, au contraire, ^ = «, on voit que G{x) contient tous les coeflicients a/, qui correspondent ào<Âr</wH-«.

Le cas spécial, où la suite harmonique [//î(^), a„] est supposée régulière, présente un intérêt particulier. En effet, posant, dans (6), X = — I , puis appliquant l'égalité

on aura le théorème intéressant :

1. Les éléments a^ de la base [a„] d'une suite régulière quelconque satisfont aux deux formules récursives

^yi {—\y{n^q — s)\{ni—q)\ ^ Zu {q — 5)! (m -H /t — * -t- I)! "''"'

,v = 0 (,0) 2(g.(„l + „-4-qr— 5)!

où les sommations sont à étendre jusqu à ce que les coefficients binomiaux qui y figurent s'évanouissent tous deux.

On voit que ces formules récursives sont généralement incomplètes toutes deux, parce qu'elles ne contiennent pas les coeffi- « ients ak indiqués dans (^), respectivement (8).

lia PREMIÈRE PARTIE. — DES CLASSES DE POLYNOMES ENTIERS.

Le théorème que nous venons de démontrer est très remarquable, ce me semble, parce que la base [a«] est parfaitement déterminée, pourvu que tous les «a* ou tous les a^A+i soient connus. De plus, il est évident que le théorème susdit est d'une généralité extrêmement grande, nous le verrons du reste dans la | suite de nos recherches; c'est pourquoi nous nous bornerons à considérer ici les deux formules récursives régulières

(II) 'y \-i><a...B„

Posons, conformément aux formules (20) et (aS) du paragraphe XXVI,

(«3) ao=2Po, fltî/i= a(a„-i- |3„), a2„+i = a„,

respectivement

les nombres au et a'^ ainsi définis satisfont aux deux formules récursives incomplètes susdites.