XXVIII. — D'autres formules récursives générales

En appliquant l'identité évidente

xP = xP-'^ (x -\-i) — xP-1 on peut représenter le polynôme quelconque du /i'*™* degré (i) f{x) = a„,o^"-+- a„,ia:'»-i-t-.. .-1- a„^n-ix -h a„

SOUS cette autre forme

Smzn-2

(2) /(x) = x{x + i) 2, Ai-a7«--5-2 4- A„i(a7 -I- 1) -)- A,i,

où il faut supposer /i^2, tandis que les coefficients A^ se présentent

CHAI'. VI. — 1,ES SUrTKS IIKGULIKUES. Il3

^Dus la tonne

( I- (jiii Hoiiiieni parliculièreineiil

I »'■ |.iii-. il '■- v idcnl (|iic réi^alitc

• iiiijiîiic (M'ite autre

cl inversement.

Posons ensuit»', conrormémeiil à ( •> i.

o{x) = 2, A.,./-"---', 'lix)-::^ 2, A^. a?" -■•••-■•',

(•!• qui donnei-a, «n vei'lii de ( a ),

I I) ) /(ar ) = .r(x -+- i) -U x) 4- A,,i( ,r -+- i ) -f- A„,

"1 lions a\<)ns a dévelo[)|)er, d'après les fonctions de [Bernoulli »;I dEuler, les deux polynômes entiers ç)(.r ) et '|(a?) ainsi délinis.

V cet effet. appli(|iions la formule ( \ /\ ) du paragraphe \ 11. /'"^^

MOUS aurons, en vertu d(^s formides i;énérales du paragraplx' \l\ . pour les eoeflieienls Y„,,, <les deux développements

:i.s NIFL.SI.

Il'l pniiMlÈRE PABTIE. — DES CF>ASSES DE POLYNOMES ËNTIEUS

les expressions suivanles :

.1=zO

ou nous avons jtosc pour al)rci;(;r

Le )iiènie pi(>(('(lé donnera les d<''veloj)|)enienls anaioj>ues

OÙ il laut admettre

En se rappelant les expressions des cocllicienls y.,,^, et jii,,^, , qui lii^urent dans les développements de /Vr», d'après les fonctions do Bernoulli et d'Euler, et qui sont iiidi(pi(^es dans les formules i () i cl ( i6) du paragraphe XIV, on aura iniiut'dialemeui

Dans le cas le plus simple, où le j)ol3nome donne- /{.T) se réduii à une seule puissance ,r"+', nous aurons pour la fonction

les (1(}\ ("loppcnienls donnés iléjà dans le [lajaj^raplie \t\

OHAP. VI. — t-KS SUITES UKGULIKUKS. Il )

Soil maintenaiil l(^ pohuome donné y (j?) un j)«>!jui)tno syinc-liiqu»', on aura, en verlu de (4), pour n pair,

A„, =/(o) -/(- I) = o, A„ = ./,,,„ <(• (pu (Joiiucra. en \(M'lu de (()),

Dan^ le c;)^ on n est' un nombre impair, on aura. ,'r< r<»n< i- lire,

• loù. en verlu de (*)),

eesl-à-dire que le polynôme 'lix) est toujours un polyn;)me symétrique, quelle que soit la parité de n.

Cela posé, nous aurons, en vertu de ( i i i et ( i .") i.

cl. pourvu que n soit iuipair,

< "ol-à-dirc que nous venons de démonlrei- le lin oiènie : .

I. Soil le polynojne f{x)^ défini par la J'oiinuli- (i), ni polynôme régulier; les coefficients a^^, satisfont, pour u.ie parifr i/nelconrjue ih' n, aux formules récursives

s'àl n lin nanibre impair, on aura de plus

> >n 2 (—•>">vt-.s-i« «,.= <'.

Suit par exemple f(x) = \),i(X), on aura ees deux l'ornuiles

I l6 t^REMIÈUK PAIlTIi:. — DKS CLASSKS I)K POLYNOMES ENTIliRS.

rùcursives nirieiises

dont. la preiuicrc iiou^ coiuliiiia ii fies Ibrmules bien connues, l'oi- Miules que ii(.ii> ;i\(iii> a ('ludicr plus tard et d'un autre poinl de vue.

(}nriiTit ;i la formule (9), posons pour abréger

ip — ■?.s

il résulte, pour 11^1,

( -iS ) \1„{X) = "^''^^"^'^ 2 a„,,.r"--^-2 -+- B„ f 01

ou, ce (pu -si la mémo eh(^se,

'I ' oMc nous aiiron

'^■11,11-1 = "'• B,;i(oj, '^i/^5«-2 = A2«,o„i = o.

formules miuiériques (pti sont contenues dans la fornnde générale (2?0-

En se rappelant (pie B:>,^(,r,) — B2,Jo) est divisible par x-(x-^i)'-. on aura, ca apjdicpiaiil ( iicrtrc lUic l'oi.s la formule (9), cet autre