X.XIX. — Une suite régulière assez générale

Pour construire des suites régulières d'une l'orme assez générale, nous choisissons, comme dans le ])aragraphe XXIV, n nombres complexes

(\) '/i, y.i, aa, .... a.,,

(jui satisfonL, pour i^s'^n, aux conditions

où ni désigne un nombre complexe quelconque, différent de zéro. De plus^ nous avons à adjoindre aux nondjres y.,, un ensemble correspondant

de sorte que ^^ correspond à a^ et que nous aurons, p

nous aurons, pour i:i.s;;/?

où £ est un nombre fixe; du reste, les nombres j3^ sont à choisii aussi arbitraires que ces conditions le permettent.

CHAP. VI. — LES SUITES BÉGULIÈRES. I IQ

( lelii posé, il t'st évident que les polynômes

s— Il .s = l

loi-nn-nl une suite régulière; car nous aurons

On voit que le degré du polynôme gp{x) ne peut jamais d(;passer yo et que la base de la suite régulière snsdite est inliinemenl liée aux sommes

Supposons

7 1 -.0= Yi= T2 = -.-=ïr-i = o (|Yr|>o),

la fonction

est toujours, même pour /- = o, un polynôme régulier du degré q] car nous aurons, en vertu de (5),

("esl-à-dire que

est toujours un nombre pair.

Posons maintenant pour abréger

( lo) ^-p = Yr+p5

il résulte, en vertu de (8),

(le sorte que les tVu-mules (5) et (6) du paragraphe XXA I

\:>0 PREMIKRK PARTIR. — DES CLASSES DK l'OI.VNOMES ENTIERS.

(lonnenl ici

dans (12) il faut supposer ^ ^ i ; soil ^ = i . nous aiirijns

M.i) oi — ■ -a,).

Quant aux développcnieuLs d a])rès les ('onctit)ns dft Bernoulli el d'Euler, on aura ininiédiatenienl

(,6) U,,,^^^2î7-r:^fn;p^'--^-''<-^-

ce (pii donnera

ni(r -^ o.n -\-i)

.8, „,,.,Jf(-,),...('-:;^*,;-)(i^)-'--,,.T,,:

dans (17 ), il faut supposer également q Posons encore

(19) 627= ^ ^ p,- (2a,-— w )'-^ '-^v ^ ( /■ -T- ■>- (/ } '. ■>r'i m'+-'/ <Ky (—;;)'

il résulte, en vcriu des ionnuics (i()), (,20), (21) du para-

CIlAl'. VI. — LKS SUITES REGL'I.IKRES. ■M

u.aphcXXIV.

. , /„„-.,=,„,„ =" 2"<- ' '■'*■• (/^ir! ,) (t)""""" ■"•■*' "'- ■'■"-■■

Eu loruiinant le paragraphe XXIV, nous avous iudiqué des lusembles spéciaux des nombres a^; quant aux ,3^, nous aurons par «xoiuple

Dans ce qui suit, nous avons à appliquer plusieurs cas parliciiliers des suites régulières que nous venons d'étudier ici.