XXX. — Exemple. Formules d'Euler

Comme premier exemple des suites régulières que nous venons (le regarder, nous avons à étudier les deux polynômes entiers

où y; désigne un positif entier quelconque, tandis qu'il faut admettre généralement ts= i; c'est seulement dans le cas où p est un nombre

pair, savoir y; = 2^/, qu'il faut poser £^=: -•

Quant aux deux polynômes ainsi définis, je dis qu'ils sont du <l('gré n et qu'ils forment tous deux des suites régulières.

Etudions tout d'abord le polynôme fn{x)] il est évidemment du

ir?. PREMIÈHK l'ARTli:. — DES CLASSES DE POLYNOMES ENÏIEHS.

degré /?, de sorte qu'il nous reste à démontrer l'égalité

OU, ee qui est la même chose,

Or, appliquons les identités évidentes

la formule (3) est évidente pour p impair; car, dans ce cas, le dernier terme qui figure au premier membre s'évanouira. Soit ensuite p un nombre pair, savoir/? = 2^, nous aurons

-i(7)'^ar'-(;-.)<^--'ar=f''"

ce qui donnera sans peine la formule (3). Posons maintenant

nous aurons

posons ensuite pour abréger

les coefficients a,- se déterminent comme suit

(6) «îr=T rT> «2/ + l =

Quant au polynôme ^n{x)-, il pe"t être traité de la même

CIIAP. M. — 1,ES SUITES RK(ilLIERi:S.

miinicTc; rf'mjti([uous que les sommes

^ôvanouissenl pour 2^2m^p— i, et seulement dans ee cas, il esi (■vident ([lie 's>„ijp\ es» précisément du /i'*"" degré par rapport a r,

Posons pour abré|^<'i-

p+îr

'■■■■- i^-H'im-'

• lis aurons

Clela posé, nous aurons immédiatement les dévelop[>empni; iTaprés les fonctions de BernouUi :

^(■^)-2(I7Tf7!'^-(-'

tandis que Ic'^ développements d'après les fonctions d'Eulei' deviei iicnl

l'osons ensuite, dans ( lo) et (i i), a* = o, puis introduisons 2// au

la-l PUEMIEHK PAUTIR. — DES CLASSES DE POLYNOMES ENTIERS.

lieu de n, il résulte les deux formules ré(iir>i\(s

p; M„,„- M.,»« =2 (~ '>-' C'ir >-'*'

dont la dernière est indiquée, sans démonstration, par Euler ( ').

Gonlormément aux remarques de Sclierk ( - >, de Saalscliiilz ( ' i et de M. Haussner (''), on n'a pas démon l ri' jusqu'iei la formule eulérienne en question.

Introduisons encore, dans ('a) et (i3), ^ = o, puis remplaçons // par 2 /i -t- I , nous aurons de même

Nous nous bornerons à remarquer que l'hypothèse ;r = — conduira à des résultats analogues aux précédents. De plus, il esl évident que les formules que nous venons de démontrer ou d'indiquer donnent, comme des cas particuliers, \u\ grand nombre de formules récursives bien connues.