XXXI. — Les fonctions partielles

Revenons aux ensembles contenant les n (déments a^ et les n éléments correspondants 9jg que nous avons appliqués dans le ])aragraphe XXIX, puis supposons que n soit un nombre pair, savoir n :=z '2 jj., il est possible de diviser en deux groupes à [j. éléments les

(') Novi Coinmentarii Academiœ Pelropolilanœ, t. XIII, 17G9, p. 3i-j(). (^) Mathematische Abhandlungen, p. 7. Berlin, )S>.5.

(^) Vortesungen iiber die Benioullischeii Zahlen. j). aoi-aoS. Berlin, iSgS. C) Berichle der Kgl. s/ic/is. Gesellschaft der M issenschaflen, t. LXH. k p. 417-418.

niAP. VI. — I.KS Sl'lTKS RKGULIICRKS. I > 5

ii'iinbrcs a^, savoii"

(le sorlc (jiic nous aiiryns, |)(>ur i ^ 5 ^ jj.,

< I ce problème admet piéeisément 2!*' solutions.

Nous désignons crtniine complémentaires les deux groupes (1) linsi définis, tandis quun seid de ces deux groupes complémentaires • -I un groupe partiel, formé de l'ensemble des // nombres a,.

De même, nous di\isons aussi en deux groupes les nombres ^^ rirrespondant à (i), de sorte que ^'^ et ^^. appartiennent à a', res- |M'('tivement h a!^; c'esl-à-dire que nous aurons, pour if;.ç^jjL,

Soient maintenant 1 1 ) deux groupes complémenlaires formés de I ensemble des /* noîîd)ies a^, nous désignons commeyb/ic^îows />«/- I if Iles appartenant aux ensembles des nombres af el des nomlires [jv ( hacun des deux polynômes entiers

hl.^'

Ml /•£;o est un entier quelconque du reste. De plus, nous désignons 'inme fonctions partielles complémentaires les deux fonctions x) et gr{x) ainsi d(''(inies.

Ces définitions adoptées, il est possible de former précisémenl fonctions [)artiellcs qui correspondent aux ensembles des a^ et

Supposons maintcnaiil // impair, savoir n = 3fjL-f-i, nous avons I iijoulc^rà chacun des deuv groupes complémentaires (i) l'élément

les fondions par(it'|lr> rompléiiienlaire>y, (J7) el gr^-^) deviennent

\i6 l'RlîMlKlUv PARTIE. — DES CLASSES DE POLYNOMES I.NJILHS.

(iitiis ce CiiS

Dans les tléveloppemenls précédents, nous avons supposé ii y-w soit particulièrement // = i ; chacun des deux groupes complémentaires (i) ne contient que le seul élément (5), de sorle (^ue nous aurons, dans ce cas, les deux fonctions partielles compl(''mentair('>

Gela posé, la déiinilion (8j du paragra[)h(' VXIX donnera le théorème :

I. Soient fq{x) et gq\.r ) deux fonctions partielles complémentaires quelconques appartenant aux ensembles des a, et des |j,. nous aurons toujours

(9) (— ")'"^'/'7(— •^ — 0 = ^7(a^). (— i/"^'ft7(— ■^■ — 0=//(.i-j. Posons ensuite jjour abréger

f'J ( ■'-■ ) =^2d jy^ iq-s)\ '

" iX) = > -— ^ ;

^^ SI m" I r/ — 5 ,

puis supposons s^r, nous aurons, en verlu du (hhcloiipciiicnl ( i i ), du paragraphe \XI\,

(il) a',-^ al^a,,,.;

soit s <i r, /• ^ 1 , nous aurons au contraire

(12) a'g -h al= (>.

hea fonctions partielles complémentain > Joih ni un vole (inu\i[niental dans nos recherches suivantes.