XXXII. — Formules fondamentales

Soily^ un positif entier quelconque, les équations aux difïérencos Unies qui ligurent dans les définitions des nombres de BernouUi et (lEuler donnent immédiatement les deux formules <>énéi\iles

,;,)=(-,)MÎ,.(^)-L-^ 2 i-n^i'-^--^)"-

titinuiies qui donnent des résultats essentiels pour les deux fonctions

3 ) 0(X)= ^ , , ' > 'liX) = ^-—; ~ ,

pn-i pu

OÙ [i désigne un nombre complexe quelconque.

En effet, substituons — x — i au lieu de x, nous aurons, en vertu

de (1) et (a),

= /)dV)!!, en appliquant Irs équiilions fonctionnelles de Jacohi, sasoirle;

I2H i>Ri;Mii";ni: i-Aurir.. — des classes de polyno.mi;s entiers.

idenlités (i) du paragraphe XV,

( ) (— l)"cp(— ar — i)= „ / ■' + ; TT >^ Ix—i

formules qui conduiront à des résultats intéressants pour des valeur spéciales du paramètre [j.

Posons tout d'aboi'd [ii = o. puis appliquons encore une fois le deux équations aux différences finies qui figurent dans les défini tions des fonctions de Bernonlli et d'Euler, il résulte, pour l( fonctions

les équations fonctionnelles

Posons ensuite p= -> nous obtenons, pour les fondions

les équations fonctionnelles

(lo) r-i)"?2(-.r-i)= ?.(»+ (^__,); 2d* r^~7^/ '

Or, il est très facile de généraliser beaucoup les deux dcrniei s groupes d'équations fonctionnelles.

V cet eff'et, regardons le positif entier m, décomposé en faclciiî>

rilAP. vil. — LKS l'OXCTIONS Bn(p.x) ET En(px). 1 29

[•[■(Miiiers

puis (.h'slgnoiis par

les posiiit's ontiers, oblemis en dixisaiit m par q de ses facteurs premiers, tandis que

(Irsi^nenl les produits corresj)ondants des t/ !;i(irur- premiers, de M>rle que nous aurons toujours

i,) r:fm^:'=ni (i^s £ t^, i<q ^r).

Cr\;) po~<'. nous avons à étudier la fonction

ipii est loujours un polynôme entier du degré n par rapport à a^ : appliquons la formule {-) et la règle indiquée à I;i lin du paragraphe IV, nous aurons

où 2<j. --^ 'f (/"), et où les

|S 1 «l. «2» «ai • • • î <^2[7.

M. ni les positifs entiers plus petits que m et premiers avec ui. Supposons ensuite que m soit un nombre impair, puis poson>

'En ( m X

10 us aurons de même

ilKLS MEL.SLN

l3o PHEMIÈRE PARTIE. — DES CLASSES DE POLYNOMES ENTIERS.

De plus, il est très facile d'ordonner, d'après des pulssanees descendantes de x^ les deux polynômes ¥,i{x) et ij„[x).

En effet, désignons par a un positif" entier, puis |)osons pour abréger

nous aurons, en verlu de la règle indiquée à la (in du paragraphe IV,

(2* — 1)! (2m)2*-i (« — as-f-i)!

où il faut admettre n>\', soit /i = i, le second membre de la formule (22) doit être réduit à son premier terme.

Quant aux deux développements que nous venons d'indiquer pour les fonctions ¥n{x) et G«(iP), on peut comparer les développements du paragraphe LXXVllI.

Nous ne nous arrêtons pas à la généralisation correspondante des formules (10) et (i i), parce qu'une telle généralisation ne donne pas des applications aussi intéressantes que la précédcnl(\