XXXIII. — Suites régulières de première espèce
Désignons t^sly f„i{x) et gm{x) deux fonctions partielles complémentaires, formées de l'ensemble des nombres a^ (1) I, 2, 3, ..., p-i *
et de l'ensemble adjoint des [3^
puis posons
tj —III
q\ pi {m — q)\ 7=0
CHAI'. VU. — I-KS FONCTIONS B„(/>.r) KT \\„ipx). i'Sl
ii.ms aurons par conséquent
«1 généralement (■) ) s',, -+- s';^ = I '/ -f- •!'/ -ho'/-h... -\- (/) — I )'/ = Sy (yt> — 1 ;.
Dans ce qui suit, nous désignons conuno compJéinenlaires les lieux sommes s[^ et s,^ ainsi définies.
Soient /> = av H- 1 ou y» = 2v+2, nous pouvons former des ensembles (i) et (2j, précisément a'' fonctions partielles de la r.>rme/«,(a:) on g„^{x).
Cela posé, nous avons à démontrer le théorème :
l. Soit f„t{x) une fbnction jtarlielle quelconque^ J'onnée ch's '/). semblés (i) e^ (a), toutes les fonctions de la forme
:, F„(.r) = M£f)+/„.(.^) (ni.)
<<>nt des polynômes réguliers.
En etl'et, nous aurons évidemment
F'„(a7) = F„,(.r) («èO,
(I les formules (7) du paragraphe XWIl et (9) du paragraphe XXXl donnent de plus
, - 0» VA- X-X)^ ^4^ -^ [//.-l(^) + gn-l{x)] - gn-x{x) = \'n{X).
Quant au développement du polynôme F„(j') d'après les fonctions de Bernoulli, nous avons à chercher, dans ^«(a?), les coetlicients des puissances x''~^^~*. Or, Brt(ic) ne contient qu'une seule de ces puissances, savoir a;""^' ; les autres proviennent de la fonction partielle /rt i (.r).
Appliquons ensuite les formules (3), (5), ((>), nous aurons le iléveloppement cherché
' « ' ^'n{x) = p \in{x) -^'^^.Ji'y'p,,,^n-,>i{^),
l32 I'HEMIÈRE partie. — des classes de POLYNOMES ENTIERS.
et il existe précisément 2" développements de ce genre, ce qui nous donnera des formules récursives très remarquables.
En effet, posons, dans (8), in au lieu de /«, puis posons ^7 = 0, nous aurons
introduisons ensuite, au lieu des s',„^ les sommes complémentaires .s','„, ce qui est permis, puis additionnons les deux formule ainsi obtenues, nous aurons, quelles que soient les fonctions par tielles complémentaires /,„(iCj et ;',„( a^j que nous avons prises pou point de départ,
(10; /j(/?2«,)B„+ 2 (,y/(^'J^jp2/.-,/So^(/7-i;B„,/
formule qui est trouvée, par des méthodes entièrement différentes de la nôtre, par Radicke ( ' j et Worpitzkv ( - ).
Soit particulièrement, dans (10), yj= 2, la ïoi-mnle eulr rien ne ù)) du paragraphe XYl donnera
( Kiant à la fomuule (9;, beaucoup plus générale que (loj, non aurons, en posant
les deux formules récursives d'une simple forme
7 = « - 1 ivx) ^ B,.4- 2) (-.)^(,; J32«-27B„, = (-i)«-i(3,i-,).
(') Die liecursionsformeln fiir die Bernoullischen und Eulerschen Za/ilen, p. 7. Halle, a. S., 1880.
( •) Journal de Crelle, t. 9i, i883, p. 217.
^^K CHAP. VII. — I.liS FONCTIONS H„(/),r) ET E„(px). I 3'}
^^H En nous bornant à celte application unique de la formule géné- ^^Hnle (8), nous avons à étudier la fonction correspondante Gn(oc) ^^Hp-ovenant des fonctions d'Euler.
^^V A cet effet, nous avous à délerniiner l'ensemble adjoint d<;(i) par ^^Htes expi'essions
puis à former deux fonctions partielles complénientaiir> /'/w(^) (^1 /.-„,(:r) de ces deux (Mixembles. Posons ensuite
^ ' jLUq\ p'i {m — q) !
nous aurons généralemenf, pour </ >• o,
landis que l'hypothèse q =^ o donnera
' 1 8) rr'o -T- ^u = o, (t'o -+- a; = — i ,
■>('lon que/>> est supposé impair ou pair.
Cela posé, il est facile de démontrer cet autre théorème :
11. Soit h,a{x) une fonction partielle quelconque foi mée des ensembles (i) et (i4): toutes les fonctions de la forme
nnt des polynômes réguliers.
La formule (8) du paragraphe \\\II donnera dans c*; c >s
, Y+p -^C„(-.r-n = halJlfl ^\l,^^ (:r) -^ /. ,, tx) ] - /, ., '.r = G,, (.r) ;
(■ esL-a-din- (pie nous avons à étudier séparément les dru\ cas sui- \ants :
l3'i PREMIÈRE PAHTJE. — T)KS CLASSES DE POLYNOMES ENTIERS.
i" p est un fiombre impair. — Dans ce cas, le polynôme Gh(j:^) est précisément du degré n par rapport à x ; car le coefficient de la puissance x" deviendia
et <7[ est un nombre entier.
Cherchons mainteuanl. dans G„(x)^ les coeflicienls des puissances .r"~-', nous iiiiions le (lcv«^l()]>|)enienl d'après les fonctions d'Euler
d'où, en posant ■> /< + i au lieu de /<, puir- supposant x = (), il résulte la formule récursive pour les coefficients des tangentes
(VA) (^''"J~' -f-a'o/>^"+')T„+,
OÙ il faut supposer n^i.
Soient, dans (21), /? =: i , x = o, on aura au contraire
(.3) .^^ZZli^Zki.
Introduisons mainlenanl. dans (22), au lieu des (7^„, les sommes complémentaires o-','„, ce qui est permis, puis ajoutons les deux résultats ainsi (»l)tenus. nous aurons, quelles que soient les fonctions |)arlicll(\s complémciilaires //„j(.r) et k„ii .x),
(24) (y/-«^. ,)T„+,+2 (- 0^-('^" ^ ') ■.v2.^7j'-"-2-^-+' 'y.Ap - i)T„,+, = (— i)«22"+i72„+,(/> — r).
Posons ensuite, dans (22),
CIIAP. Vil. — LES rONOTIONS r>„(px) Kï E,j(/>2?). l35
lions aurons
:>." j) est an nombre pair. Dans ce cas, le degré de Gn{x) ne peiil pas dépasser /i — i , parce que la formule (20) montre que le degré de Gy, (^) est de la forme n — 2v — i; c'est-à-dire que nous
aurons
Or, il est facile de voir que G«(^) est précisément du degré n — 1 , parce que le coeflicienl qui correspond à la puissance .j?"~* deviendra
cl 0-j est la moitié d'un nombre impair.
Dans ce cas, nous aurons k; développement d'après les fonctions <le Bernoiilli
il OÙ. en iiilrotlulsaul '>.n-\-\ au lieu de //, puis posant ^ = o,
formule ((ui est valable, pourvu que n^i.
Soient, dans (28). /« = 1 , x = o, on aura au contraire
(3o) 7!, = i^ H- .>.pa'i.
La méthode appliquée dans les cas précédents donnera, eu vertu de (29), quelles que soient les fonctions partielles complémen-
l3() PREMIÈRIÎ PARTIi;. — DES Cl-ASSKS DE POLYNOMES ETriKKS.
t aires h„,(x) el km{oc),
.ç~0 X B„,.+ (— !)"•[(« + 1) ff2n + i(/> ~ I ) — 72n+i(p — ')];
rhjpollièse/? = 2 nous condiiiiM de nouveau à la formule (i i).
On voit que les coefficients du développement de G,i{x) dapics les fonctions d'Euler deviennent plus compliqués que ceux qui figurent dans la formule (28); c'est la uième chose pour le déveloj)pement de G,i(x) d'après les fonctions de Bernoulli dans le cas où /i est impair, et pour le déYcloppemeiil de F„(.r) d'après les fonctions d'Euler.
