XXXIV. — Suites régulières de deuxième espèce
Soient maintenant /,w (if ) et g'm(x) deux fonctions jjartieiles complémentaires quelconques qui correspondent à rensemblc des nombres a^
et à lensemble adjoint
nous posons poiir al)réger
( '"> ) fm (^O = y -r^ . """'' , ,
ce qui donnera, [)our les sommes eoin])l('inoiilain's
soil ?n=^o. on aura pari iiuiJièrement
CllAP. VII. — LES FONCTIONS B,i(p.r) ET K,;(yW.r). l37
Appliquons ensuite la fornuile (lo) clii paragraplie \\\ll, il îsnlle le théorème :
I. Soit fm{oc) une fonclion partielle (luelcoinjue. formée /les nsenibles (i) et (2), toutes les fonctions
ïinlpx— ij
sont des polynômes réguliers.
Remarquons ([ue les puissances a^"-"' ' pidx icinu ni exclusivement (le/«)(j7), nous aurons
landis que les coeflicients du développemenl de 1^,1 r i d'après les lonctions d'Euler sont plus compliqués.
Introduisons, dans (8), in au lieu de n, piii> po-^oiis a:=o, il i(''sulte la formide récursive
'■r (jui donnera, (pielles que soient les l'onclions parlielles complémentaires que nous avons appliquées,
, M, /;;',2,,., ,lî,,^ y I— '>'/(.'") (2// ri" 2'//,,/,/;; 15,,.,,
7 ■■ = '— U" \t-xn^l>)— "'|>lln-\{p)]■ ':^o'\l particulièrement p = i , nous retrouvons. ( 11 mi tu de (u), la formule (il) du paragraphe WXllî, tandis (|ii< Ir^ liv|)othèses
t3S première partie. — DES CLASSES DE POLVNOMES ENTIERS.
doniicnl. on vertu de ( lo ), ces deux formules r('-eiii\slves
(r>, ^^^"^r^"= 1 (-,).-^;).-WB..,-(-.).(4.-.)
Etudions maintenanl le cas où l'ensemble adjoint de (i) se détermine par
nombre qui correspond à 7.^=25+ i, puis désignons par h„i{oc) et k,n{oc) deux fonctions partielles complémentaires, formées de ces ensembles, nous aurons, en posant
pour les sommes complémentaires -:'„, et t"„,
(<7) '',«-+- -';«=(-i)''~' 2 (-0'(2/>-'?.5-i)"'=(— i)/^-ix„,(/j),
où il faut supposer m^i, tandis que l'hypothèse m = o donnera
(18) j'o + t;; = 0, Ti-t-x'^j^ — I,
selon que p est impair ou pair.
Gela posé, la formule (11) du paragraphe \X\1I donnera le théorème :
11. Soit h,„(oc) une J'onction partielle quelconque formée des ensembles {\\ et (\/\)i toutes les fonctions
(19) Ga{x)= — ^— — -L-hn{x)
sont des polynômes réguliers.
CIHP. vu. -- LES FONCTIONS B,j(/Ja?) RT E„(pT). 1 3«)
l.'c(|ii.:\li(>n fomlionncllc de G„( x )^ savoir
• Icpcad de la parilé dc/>; c'est-à-diie que nous avons à éludicr séparément les deux cas suivants :
i" p est un nombre pair. — Les mêmes réflexions que, dans le paragraphe précédent, montrent que G// (a?) est toujours un polynôme du degré n; remarquons ensuite que les puissances x'*~-^~' proviennent exclusivement de /i„(x), nous aurons
landis que les coefficients des développements d'après les fonctions il Eulér sont plus compliqués.
introduisons ensuite, dans (21), 2« au lieu de n, puis posons ./■ -- o, il résulte la formule récursive
<<■ (jiii donnera, |)ar la méthode ordinaire,
formule qui ne dépend pas des deux fonctions partielles complémentaires h„i(x ) et k„,{x).
Posons, dans (•.xi).
us aurons
">) {•>. Il '-r-V) ¥.„-•- 2 (
32iHl.>.4«-4.sB, 1/
IJO PREMlÈKE PARTIE. - DES CLASSE,-- LE l'OLV.NOxMES ENTIEllS.
2° p est lin nombre impair. - Dans ce cas. (!«(.«) csl un polv in)nie du dej^^rc // — i, d(; sorte que nous aurons ici
tandis que les coelïicients du développement correspondant d'ypir les fonctions de Bernoulli sont plus compliqués.
Introduisons maintenant, dans ( 2<)), 2// au lieu de n, pui posons^ = 0, il résulte
ce qui donnera, (|uelles (|uc soient les l'onctions partielles comph;mentaires,
Posons p z= \ ., nous retrouvons la lornude ( 5 j du parai;rap1ie \ V qui est due à Euler.
