XXXV. — Suites régulières de troisième espèce

11 est très curieux, ce me scndde. (pic les formules (17 ) et ( ijj du pai-agraphe XWll nous pei'iiuilciil de liéncraliser les résidtalobtenus dans les deux paragraplics j)icccdcnls.

En effet, désii;nons par m ^ 1 un ciilicr quelc()iic[ue du resle, j)ai

(l) ^-J) 'J-ii '■'■•■h • • •■ '■^■■1. I ,'-'• -" 0('//' I I,

les positifs cuticrs plus pcllts (pic /;^ ctprcuuers à m. et déterminons renseml)ic adjoint, de sorle (pie

les coefficients des deux fonctions parlicllcs com|)lémcnlaircs quel-

CH.\P. vu. — I.KS FONCTIONS li„(px) ET \'.„( p

1» ^"^""^^ Zàq\nvi {n — q)\

-;ilisloal à la condition

De plus, la niélliodc que nous venons d'a|)[)li(|iii'r dans les paragraphes piécédents donnera ici le théorème :

1. Soit m^ I un entier quelconque^ et soit f,i{x) une fonction partielle quelconque, formée des ensembles (i) et (2), toutes les

/'onrdoris

,.) <ï>„(^) = F„(a7)+/„^...(^) (nli),

où V,i{x) est la fonction définie par la. formule ( iG) du paragraphe X \X1I^ sont des polynômes réguliers.

IJans ce cas, nous aurons le développement

"'"(-)=2;(^7fe^''"-"<"''

<(■ qui donnera, en introduisant a/i au lieu de «, puis posant x. la formule récursive très curieuse

^ ■ -^^-^ B„ + (— if{s'.,i— nins'.,„^)

ou ■j',i{'"'j *'>^ le nombre défini par la formule (21) du paragraphe XXXII et dépendant des facteurs premiers de w, dont le

lombre est égal à r

Introduisons ensuite, dans (8), au lieu des cV^^, les sommes cor-

\.yi 1>REMIERE PARTIE. — DES CLASSES I>E POLYNOMES ENTIERS.

respondantes .s;^ puis additionnons les deux formules ainsi ohtenues, nous aurons toujours, quelles (pie soient les fonctions partielles complémentaires appliquées,

(9) (— I,)'"'«Ç2«-l('«)B«-^(— l)"(S-,n— l»ns.,a-l)

Posons eneore, dans (8),

m = 6, /• = ?., s',^■=l \, s'u = 5", il résulte les deux formules

Quant à l'application des formules (20) et (28 ) du paragraphe XXXII, nous supposons n impair, puis nous remplaçon; l'ensemble (2) par cet autre

Soient ensuite li„{x) et h„{x) deux fonctions partielles complémentaires, formées des deux ensembles (i) et (12), nous posons

ce qui donnera

ICn{x) =

CHAP. VII. — LES FONCTIONS IJ„(/>a) El li„(/'JK , iji

dOù parliculiéremenl, pour t/ = o,

Cela posé, nous aurons le théorème :

11. Soit m>i un nombre entier impair, et soit hn{x) une fonction partielle quelconque formée des ensembles (i) et (12), toutes les fonctions

^•ii Grt(^) est la fonction définie par la formule i u» > du paral'/ripfir Y YVI/, sont des polynômes réguliers.

Dans ce cas, nous aurons le développement

d'où, en introduisant in-Y-x au lieu de n, puis posant x=:o, la formule récursive curieuse

^orte que nous aurons, en vertu de (if) 1,

'O) (— i)'-cp2„+i(«i)T„ + i q = n

Dans le cas particulier, où m est un nombre premier, les formules récursives générales que nous venons de développer coïncident avec 'Iles obtenues dans le paragraphe XXXIII,