CHAPITRE VIII
MÉTHODE DE .JACQUES lŒRNOULLI.
XXXVI. — Formules de Bernoulli et d'Euler. Il est évident que les sommes de puissances semblables
où la dernière délinilion est à appliquer même pour a: = o, sont iulimemenl liées aux fonctions de Bernoulli.
En eflel, l'équation aux différences finies qui figure dans la définition des- B„{x) donnera immédiatement
( liangeons ensuite le signe de x, puis appliquons l'équation fonclionnelle de Jacobi, savoir la formule (i ) du paragraphe XV, nous h> ^'
durons de même
'fus) B„.>>- B„(a7-/>) =: ^~'^""(',,'!:','^7^' ^^ (n^i).
[*osons particulièrement
inip) — !"-+- 3"+ 5"-+-. . .^- (2/? — i)«, to(p)=p,
Nri;i.S NIEI.SEN 10
l46 DEVXlÈAtE PARTIE. — LES NOMBHES DE BEHNOULM ET d'euLER.
nous aurons évidemment ,
(5) S„(p) = Sn(i,p)==(—i)"Sn(—p,/>) (nlo),
Quant aux fonctions d'Euler, nous avons à regarder les sommes alternées
(7n{^, p) = (3^ +■ p — i)" — (ar -i-p — i)"
-^(x-hp — 'i)" — ...-¥- (— i)/'-ix", (7)
où la dernière définition doit être applicable même pour oc = o.
Cela posé, nous aurons, en vertu de l'équation aux différences finies qui figure dans la définition des E„(j?),
(8) E„(;r + /,-^i)-(-i)/'E„(^-,)=î^i^^ (n>o), d'où, en appliquant l'équation fonctionnelle de Jacobi,
(9) En(.T)-{-i)>-E„(x-p)=^~'^"^"~'^^^'^~''^P^ (n>o). Posons particulièrement
nous aurons, par conséquent,
(il) a„ (/? ) = (T„(i,^) = (-i )"+/>-! a„(—/>,/j) (nlo),
tandis que les définitions
donnent de même
<l3) -n(p) = l"<yn(-^' p) (n^O).
Remarquons encore que les deux sommes 5„(x, /;) et 's{x, p)
CHAP. VIII. — MÉTlIOnE DE JACQUES BERNOULLI. 14"
sont liées par la relation
(II) ff/,(a:, ■ip) = i'' \sn f^^' PJ —Sn i-^y pj h
et que nous aurons de plus
(i6) Sn{x,p + g) — s„(x, p) = s„(x-^p, q),
(17) ff„(a;, /JH-çr) — (— i)'7a(a7, /)) = <T„{x-^-p, q).
Soit ensuite o? un nombre différent de zéro, nous aurons, de même,
(18) a" ^ (a -^ dy -h {a ^ t.d)" -^ . . . ^ [a -^ (p — i)d]" = d"s„l-r'P)'
formules qui nous seront très utiles dans nos re(;herches suivantes. Posons maintenant, dans (2) et (8), a? =: i , il résulte immédiatement
(il) Gnip) = n\ [E^ip) - (— l)PEn(o)],
ce qui donnera la formule, indiquée déjà par Jacques Bernoulli ( ' ),
tandis que l'expression correspondante obtenue pour 'Tnip) dépend de la parité de p. On aura, en effet,
(') Arx conjectandi, p. 93-97, Bàle, 1718.
l48 DEUXIÈME PARTIE. — LES NOMBRES DE BERNOULLI ET d'eUI.ER.
et
ces deux formules sont dues à Euler ( ' ).
Jacobi (-) semble avoir introduit, le premier, une variable continue au lieu du posilil Cniirr /> (jiii figure dans la formule générale (22). En effet, il a icgiird»- la l'onction
(un)!
Ostrogradsky (•'), Malmsten (''), Dienger (') ont de même regardé une variable continue dans notre formule numérique susdite, mais c'est Raabe (") qui a donné la première monographie des fonctions de IJernouUi.
On doit à Jacobi et à Malmsten des remarques importantes relatives à la variation de B„(a;); Ostrogradsky a représenté les B„(j?) comme des polynômes entiers de la variable (x + i), représentations qui sont les conséquences immédiates des formules (i-) du paragraphe XII.
Raabe (' j a introduit dans le second membre de (28) et (24) "ne variable continue; plus tard, Hermite (*) a résolu, d'un autre point de vue, le même problème, tandis que M. Rogel (') a donné une monographie des fonctions d'Euler.
Quant aux sommes s,i(a:^ p) et <j,i(x, p), nous avons encore à
(') Institutiones calcitli differentialis, p. 499- Pelrograd, i-55.
(") Journal de Crelle, t. l'^, i834, p. 265-2(17.
(^) Mémoires de r Académie impériale de Saint-Pétersbourg, (i" série, t. II,
( " ) Journal de Crelle, t. 35, 1847, P- 60-67.
(=-) Ibid., t. 34, 1847, p. 75-100.
(^) Die Jacob Bernoullisclie Function. Zurich, 1847. — Journal de Crelle, t. 42, i85i, p. 348-867. — Mathematische Mittheilungen, t. l-II. Zurich, 1857- 1 858.
(') Mathemalische Mittheilungen, t. II, i858, p. 129-138.
(*') Journal de Crelle, l. IIG, 1896, p. i\\.
(^) Bulletin de l'Académie de Prague, 1892.
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développer une suite de formules qui seront utiles dans nos ^ recherches suivantes.
^K A cet effet, citons tout d'abord les deux développements
(•24) Sn{x-hh, p) = Sn(x) -+■ { ^) Sn-\{x)h
r.î5 1 a„(a:-t- A, /?) = a„(a7) -h / jff„,(a:)/i
conséquences immédiates de la formule binomiale.
Posons maintenant, dans la formule (lo) du paragraphe V,
/(:r) = B„^,(^), puis appliquons l'identité
il résulte pour la fonction Xp{x)^ étudiée dans le paragraphe V, le développement
L'hypothèse donnera de même
d'où, en vertu de la formule (5) du paragraphe VI, pour la fonction A"(j7) regardée dans ce même paragraphe^
(-27) k'l,{x)="^{P^^yn{oc,p-r + x).
Soit maintenant, dans (28) et (29), x = o, nous aurons les for-
IJu: DEUXIÈME PARTIE. — LES NOMBRES DE BERNOULLl ET D EULER.
mules plus spéciales
Appliquons ensuite les formules (12) du paragraphe VI et (4) du paragraphe VI, il résulte les deux formules, inverses de (38) et (29),
rz=p
(3i) '^u{oc.p+^)=^{-^y{^^~i:')^"p-a^\
d'où, en posant ^ := o,
Dans le paragraphe LVI, nous avons à généraliser beaucoup les deux formules (3o)et(32).
