XXXVII. — Formules régulières pour les B

La définition des fonctions de Bernoulli donnera immédiatement une foule de formules récursives pour les nombres de Bernoulli, les coefficients des tangentes et les nombres d'Euler, formules parmi lesquelles on trouvera la plupart des formules récursives connues, trouvées par des méthodes transcendantes et très différentes.

En effet, étudions la différence

CHAP. VIII. — METHODE DE JACQUES BERNOULLI. l5l

OÙ p désigne un positif entier, puis posons, pour abréger,

(n \,„{x, p) = — ^ [iSiAx + x, p) — {x-^-p)"'\ — (a: -h /))'"-+-',

la formule (2) du paragraphe XXXVl donnera immédiatement h'l*f

= T ') 2 (-i)*-'(fJ(-i--^/')"'-"B..= '«!B,„(a-)-+-A,„-,(a7,/>),

tirmule qui est essentielle dans nos recherches suivantes.

Posons, dans (2), x=^o. p = i, il résulte la formule (i5) du M.A-Z,

paragraphe XII, savoir

vc qui est précisément la formule que Jacques BernouUi (') a

a|)pliquée pour le calcul successif des cinq premiers des nombres B„,

savoir

Il est très curieux, mais regrettable pour l'Analyse, ce me semble, que la plupart des géomètres n'aient pas fait attention à cette méthode élémentaire de Bernoulli, de sorte qu'ils se sont efforcés à inventer des méthodes transcendantes pour, trouver des formules it'cursives qui ne sont autre chose que des conséquences immédiates (l'une formule élémentaire, connue de tout le monde. C'est pour- (|uoi nos citations concernant les formules récursives sont très cparses ; car trouver une formule qui n'est autre chose qu'un (as particulier d'une formule générale bien connue ne nous semble pas une découverte de mérite.

Revenons maintenant à notre formule générale (2).

Première application. — Supposons ^ = 0, puis posons, pour abréger,

, A,„= A„,(o, />)= :!!i-ti ( 2 S, „(/?)—/?'«)- /y«+»,

(') Ars conj'ectandi, p. 95-97. Bàle, i7"3.

i;j2 DEUXIEME PARTIE. — LES NOMBRES DE BERNOULM ET D EULER.

je dis que nous aurons les quatre formules lécursives générales (5) "2'(--)-(:::;)/.— B,.,= (-,)'.-.A„.

n^^)B,.+ 2 (-')^(ar" i)/^"'^"-=(-'^"-'(7^-^H-

En effet, posons, dans (2), m =2^+1, respectivenieni m=2/î + 2, puis prenons dans l'ordre inverse les termes qui figurent au premier membre, nous aurons les formules (5) et (6); soustrayons (5), multipliée par />, de (6), 'nous trouvons la formule (7), Quant à (8), posons, dans (6), n — i au lieu de /i, puis soustrayons le résultat ainsi obtenu de la formule (5) divisée par p, il résulte la formule (8).

Les formules générales que nous venons d'obtenir donnent les . cas spéciaux suivants :

I ° p = I ; nous aurons

ce qui donnera

(II) 2 (-')'

(..) (..^i)B„+ 2 (-'Kj:>-=^-^-