CHAI». VIM, — MÉTHODE DE JACQUES BEBNOULLI

ITcst évident que les formules (9) et (10) ne sont autre chose que la formule (3) d<' Bernoulli pour des valeurs impaires ou paires de n ; néanmoins, on attribue à iMoivre ('), respeetivement à Jacobi (=^), les deux formules en question. De plus, on dit généralement que la formule (9) est la première formule récursive connue pour les nombres de Bernoulli, quoique Jacques Bernoulli ait appliqué la formule plus générale (3).

La formule (11), obtenue en soustrayant les deux précédentes, <'st généralement attribuée à Stern (').

2 ' p := 2; nous aurons, dans ce cas,

ce qui donnera

la formule (i3) est souvent attribuée à G. -F. Mejer (^), élève de Stern.

On voit, en vertu du développement du paragraphe XXVI, que les suites régulières qui correspondent aux formules récursives

( ') Miscellanea analylica complementum, p. 6. Londres, 1730.

( ■ ) Journal de Crelle, l. 12, i834, p. 625.

(') Ibid., t. 84, 1878, p. 267.

(>) Ueber die Bernoullischen Zahlen (Thèse de doctorat). Gœttingue, iSSg.

l54 DEUXIÈME PARTIE. — I.KS NOMBRES DE BERNOULLI ET d'eLLEH.

régulières (5) et (6) ont respectivement les éléments généraux

^ s Sn(.r-^i, p)-hi—i)"Sn(—ar, p) ^

Deuxième application. — Supposons, dans la formule générale (2), X = , puis posons, pour abréger,

(19) A,„=m[2^„i(yD) — ('2/?-l)'«-l]— (2/>-l)"S

le même procédé que dans la première application donnera ici

<-) ■'2'<-')'(:::;)'^— (=/>-.)'>«„,.= ^3iiiiiH±i,

i" /> =1 1 ; nous aurons, en vertu de (19),

A,n= m — i, A„,— A,„i== I, ce qui donnera

CHAP. Vin. — MÉTHODE DE JACQUES BERNOULLI. U >

Les formules (24) et (20) sont souvent attribuées respectivement I Stern (') et à G. -F. Meyer (2); quant à la formule (aS), elle |) parvient à Euler (').

2° p = 2; nous aurons ici

.' qui donnera

= (- I)""' [(an — 3)3î«-i-+- 4/i], '"y'(i).r^'^^')3-2---B„^,

Les suites régulières qui correspondent aux deux formules

(') Journal de Crelle, t. 26, i843, p. 90.

(-) Ueber die Bernoullischen Zahlen (Thèse de doctorat), p. 10. Gœttingue, 1869.

(^) Opuscula analytica, t. II, p. 264-265. Pelrograd, 17S5,

l56 DEUXIÈME PARTIE. — LES NOMBRES DE BERNOULLI KT d'eULER.

récursives régulières (20) et (21) ont respectivement les éléments généraux

Sn \3C ^-, p\ -+-{—lYSn\ — X^-, p — l\

Troisième application. — Posons, dans la formule générale (2),

a x = > ou a = i, a = 3,

il résulte les deux formules récursives

1" L'hjpolhèse/) = i donnera les formules récursives spéciales

(36) 2 (-0-^(^J^|)4^«-''^B„,= (.2n + OE„-(-i)"(4n + i),

(37) 2 (-0^(2^^l)4'""'*-3-^+iB„,=(-i)"-i(4/i-i)32«-(2/î+i)E„,

in— I),

= (i)«-i(4n-3)32''-i, dont la première est attribuée à Worpitzky (' ). (') Journal de Crelle, t. 94, i883, p, 224.