CHAP. VIII. — METHODE DK JACQUES BERNOULLI

a" Soit ensuite /> = 2, on trouvera de même

= (-2/i-hi)E„-(-i)''[8rt + 4 + (4«-3)5'-"],

On voit que les suites régulières qui correspondent aux deux tormules récursives régulières (34) et (35) ont respectivement les éléments généraux

Sn\X-- -r-.,/>j -^{-xYs^y-X- - -f- I , p - I

Quatrième appUcalion. — - Soit, dans la formule générale (2).

l58 DEUXIEME PARTIE. — LES NOMBRES DE BERNOULLI ET D EULER.

nous aurons la formule récursive

(46) ^(3^"-i)B„+ 2 (-'>('"^")(3/>-«p32«-2.sB„,

dont la suite régulière correspondante a l'élément général

i" Soit/> = I , nous aurons particulièrement

(48; Î(32«,)B„+ 2 ^-0-^-(^j)32"-^-'B„-.= (-ir-H3/i-<),

(49) ^(32« — i)B„4- V (— i)'('''''^y3î"-2-^''iî^B„,= (— i)«-i(3rt— 2)'.

y" L'hjpolhèse p = 2 donnera de même (io) 1(32«,)B„-+- 2 (-i)'(^/J')3-^''-^M^^B„,

= (,)«-.[(3«-4)42«-i + 6rt],

j = 1 = (— i)«-'[(3rt — 5)5««-i + 6n.22«-i].

Cinquième application. — Les hypothèses

con

duisent, en vertu de (a), à la formule récursive générale

CHAP. VllI. — MÉTHODE DE JACQUES BERNOULLI. 1 59

à laquelle correspond la suite régulière formée des polynômes

I " Posons j» = 1 , il résulte les formules spéciales

2" Soit /? = 2, on trouvera de même

<-,i\' [(35''-4-3)(22"-i + i)-6JB„-+- 2 (-i)"(^^)62«-'^ 7'*'B«-5

= (— i)"-'[(6« — 7)7»"->H- I2rt].

.1 zz n — 1

<57) [(3î«^3)(22«-i + i)6]B„4- 2 (-i>^-(j^J6^"-^Mi^*-B„,

= ( — !)«-'[( 6 n — 1 i)i|2«-t -H 12 rt. 521-1].

Un certain nombre des trente-deux formules récnrsives que nous venons de déduire d'un seul coup, comme des cas spéciaux de la formule de Bernoulli, sont bien connues. Cependant, je n'ose pas indiquer les premiers découvreurs de ces formules connues qui ont été retrouvées bien des fois, généralement par des méthodes transcendantes.

Citons un seul exemple de ce genre.

Schlomilch ('), dans un petit Mémoire de sa tendre jeunesse, a trouvé six formules récursives pour les B«, savoir les deux for-

( ') Archiv de Grunert, t. III, i843, p. 9-18.

l6o DEUXIÈME PARTIE. — LES NOMBRES DE BERNOULI.I ET d'eULEII.

mules (9) et (10) de Bernoulli, dites de Moivre et de Jacobi, les formules (8) et (9) du paragraphe suivant et les formules (3) et (4) du paragraphe XL; c'est-à-dire que trois de ces formules sont certainement bien connues. Néanmoins, l'auteur dit, relativement aux formules susdites ( ' ) :

« Die bisher enUvickelten E igenschaften der Bernoiillischen Zahlen^ ivelche gar nicht bekaiint zu sein scheinen >

A l'occasion de ce Mémoire, l'illustre Gr)pel (-) remarque :

« Da mail sicli dent Obigen zufolge Recursionsfonneln in beliebiger Menge verschaffen kann^ so môclite es nicht von grosser Erhebiichkeit sein^ deren neue aufzasuchen; es geldnge denn eine solclie aufzufmden^ die einen tieferen Blick in den Bau dieser Zahlen verslattete. »

Or, cette réserve de Gopel doit être étendue plus loin encore.

En effet, on sait qu'une formule récursive régulière des nombres de Bernoulli correspond à une suite régulière, et c'est possible qu'une telle suite conduira à des résultats nouveaux et importants. Par exemple, les suites régulières, que. nous venons de citer dans ce paragraphe, m'ont conduit aux recherches développées dans le Chapitre VII, résultats qui sont essentiels dans la théorie des nombres de Bernoulli; nous le verrons dans le paragraphe LXI.

Déplus, les coefficients mêmes d'une formule récursive des B„ présentent, au point de vue de la théorie des nombres, un intérêt particulier ; nous le verrons dans le Chapitre XVIII.