XXXVIII. — Formules régulières pour les T
Dans nos recherches sur les coefficients des tangentes, nous prenons pour point de départ la différence
OÙ p désigne un positif entier. Posons, pour abréger,
(i) A,„(.r, p) = 2'"-+-' <^„i{x -+- 1, p) — (9.p -h 9.ir)'«,
( ') Loc. cit., p. 18.
(') Loc. cit., p. 65.
CHAP. MU. — MÉTHODE DE JACQUES BERNOVI.lf. l6l
nous aurons, en vertu de la formule (8) du paragraphe XXXVl,
relation qui nous conduira immédiatement à une suite de formules I écursives pour les coefficients des tanoentes.
Première application. — Posons, dans (:>.), ,r = — -, nous aurons, en vertu de (i),
( <• qui donnera, par le même procédé que dans le paragraphe précédent, ces quatre formules récursives :
= (- 1)/' ' i-:,, -(- ir'[A,„-( •>./> -I) A,„,],
lormules qui se présentent sous une forme simple dans les cas suivants :
I // I : nous aurons
NiHi s Mia,si:.\ 11
i()2 i)i:i \ii;mi: pakiik. — lks nombres de bernoulli et d euler. ce qui donnera
(lO)
(II
On voil ([lie les deux premières de ces formules ne sont aulri ehose que la formule récursive (5) du paragraphe Xlll; la for mule (8) a été observée par Scherk (').
2° /? = 2, ee qui donnera
de sorte que nous aurons, dans ce cas,
(15) V (,,.(' ■•■" V!t.«T., = T„,+ iK,-<~l)".j.
(') Malheinatische Abhandlungen, p. 5. Berlin, i8;jâ.
CHAH. Vin. — MKTIIOOK DE JACQt'KS BERNOLI.LI. Ill>
;"' /; = 3 ; les fornuilcs (6) et (7) donnent, dans ce cas,
Deuxième application. — Supposons, dans la formule génri-iile (2), a? = G, puis posons, en vertu de (i),
<l«) A„, = .\,„(0, />) = 2'" + ' l,n{p) — {ip)"',
nous aurons, pourvu queyo soit un nombre impair^
formules qui se préseulent sous une forme simple dans les cas suivants :
i"/> = i: nous trouvons ici
<■(■ (jui donnera
l()4 DEUXIÈMIÎ l'AUTlE. — LF.S NOMBRES DE BERNOLLM ET d'eULEH.
et
2"/? =3; les formules (21) el (22) donnent, dans ce cas,
. ■< = ' Supposons maintenant que/) soit un nombre /?««>', nous aurons
(3,i) > (-.>^-(,^;^ jT„,= (-.)"f'^./>A.«~A,„^,).
formules qui se présentent sous une forme simple dans les cas sui vants :
I» yo = 2, ce qui donnera
CHAP. MU. — MÉniODE DE JACQUES BERNOULLI. l65
(Je sorte (jue nous aurons
.35) .nT„^ 2 (-.^(::.^;)4-T«.= (-0"-'.-«,
Les suites régulières qui correspondent aux formules récursives (4) et (5) ont respectivement les éléments généraux
tandis que les expressions correspondantes pour les formules (19), (29) et (20), (3o) deviennent respectivement
J„(a:4-i, /?)-!-(— ij^'a„(—a-./?) ( 39 ) ^j-j ,
,. , . T,tH-i(a7-f-l, />) ->-(— 1)» Jn+i(— 37. /?)
^""> (Trri)!
Troisième application. — Supposons, dans la formule générale (2),
puis posons
(4i) A,„ = 6"'cr„,,/i-|, p\-'i{Ç>p--ia)'"-
l66 DEUXIÈME PARTIE. — LES NOMBRES DE BERNOULLI ET d'eULER.
nous aurons, pour m =: 271 — i , la formule récursive générale
(t.) 2 (-'>A 'L ')3^"-'-'(6/'--^-«PT„..
= (o-A,„-tiiZ^:!(Z:i^l)T„,
dont la suite régulière correspondante a l'élément général
('•3) (-i)'-«[î^^^-iî.(^)]
Posons maintenant, dans (42), p =
I , nous aurons
tandis que l'hypothèse p = 2 donnera de même
Les remarques faites, à la fin du paragraphe précédent, relativement aux formules récursives pour les nombres de Bernoulli, sont valables aussi pour les formules que nous venons de développer. En efl'et, les formules récursives connues pour les coefficients des tangentes sont retrouvées bien des fois et généralement par des méthodes transcendantes, quoiqu'elles ne soient autre chose que des conséquences immédiates de la définition générale des fonctions d'Euler.
CIIAP. Vttl. — METHODE DE JACQUKS BERXOULI.I. 1^
