XXXIX. — Formules récursives pour les i

Nos recherches sur les nombres d'Euler sont fondées sur la fo nulle (2 ) du paragraphe XVII, due à Raabe, savoir

méthode qui nous donnera, d'un seul coup, toutes les formules récursives connues de ce genre, et beaucoup d'autres.

Première application. — - Supposons, dans (i), x = p, où p désigne un positif entier, puis posons, pour abréger,

(2) A„, = ( 2/> -+- 1)"'— 2"'+l ff,„(p),

OÙ le dernier ternie qui ligure au second membre est à supprimer pour yt> = o, le procédé ordinaire nous conduira à ces quatre formules récursives :

jm^ \/2 .S -t- I /

= (- i)i>{-ip H- i)T,- (- 1)" 1A2„- (2/> + 1 ) A. ,„,!,

formules qui se présentent sous une forme simple dans les cas suivants :

1(m DKUXItîMK l'.VHTlE. — LES NOMBRES DE BERNOLLM ET U'eLLEK.

i" p ^^ o, ce qui donnera

Les foiMîiiiles (7) et (9) sont dues respectivement à Euler (') et à Scherk(2).

2° p = \; nous aurons, dans ce cas,

A„,= 3'" — 3"'+>, A,„— 3A„,, = 2'", ce qui donnera

<'4) 2 (-0-'(,,^^ j3^-iE„, = -T„^,(-i)-.^«-..

<') Opuscula analytica, t. Il, p. 269-270. Petrograd, 1785. (') Mathematisché Abhandlungen, p. 5. Berlin, 1825.

OIIAP. VIII. — MKTIIOliK 1)K JACQUES BERNOULLI. I (j<j

3" p z= -2] les formules (5) el (6) donnent respectivemenl

2] (-•)-^'(,./!^,)5'-^-"'E„-=T„.,.-(,)«(aî«-3)..î'.

Deuxième application. — Introduisons, dans la formule (i), r=p — ■-, ou p désigne un positif entier, puis posons, pour .il)ré<;er,

nous aurons, pour/? impair^

:E„+ V ,-iVs-(^'^';j(.,,^)«.E„,= (-,)«-.A„„

(N* qui donnera, pour/? = i,

IJO DEIXIEME PAHTIR. — LES NOMBRES DE BERNOULLl ET 1) EULER.

Soit cnsiiilc/; un nombre pair, nous aurons de nièriic

(•^9) 2 ^-'>'(Tstl) (^Py^' ^''n^-^ =(-')"( ^^^n+,- '?^P^,n+^);

posons ^ ^ 2, les deux dernières de ces formules donnent respectivement

Troisième application. — Posons ensuite, dans (i),

(32) A,„= a.G'"-' a,„, I 1 — , y,\ — (Gyj -i-3.2a)"'

il résulte, pour m = 2 n

CIIAP. VIII. — MKTHOnt: l)K JACQUES HERNOLI.U.

<l\)ù, eu supposant /> = o, a = i ,

tandis que les hypothèses jo = i , a = 2 donnent

l^osons encore/» = i , <^< = i , il résulte de même

Les remarques faites relativement aux formules récursives pour les B„ et T,i sont applicables aussi pour les formules contenant

les E„.