XL. — D'autres formules récursives

La formule ( i) du paragraphe XVII, due à Raabe, savoir A. ^1

donnera immédiatement une suite de formules récursives pour le ( alcul des nombres

souvent désignés comme les coefficients des cosécantes, formules desquelles no-us avons à indiquer les plus simples.

1" l'osons j7 := o, m--2/<-|-i, m ^=271, nous aurons rcspecti-

172 DEUXIÈME l'ARTlE. — LES NOMBRES DE ItERNOULLI ET 1) EULER.

vement

la formule (3) est due à Euler ('). Posons, dans (3), n — i au lieu de «, puis additionnons à (4) le résultat ainsi obtenu, il résulte la formule récursive homogène

2" Soit ;r = I, l'identité

donnera, par le même procédé, ces trois autres formules

(6) y (,)^Y!"-:-^)3-.c^— 'OB.

(') Opuscula analytica. t. II, p. 26i-^G5. Petrograd, 1780.

CHAP. .MU. — MKTIIODE I)K JACQUKS UERNOll.M. 17^

3" Supposons a: = -, nous aurons de même

0 2 (- ir'(''" 7 ')(•>■'"-''- ^)2'*''^"-.s-=i-'/'(4/i- 4).

4" Les hypothèses j? = — ^, m = 2/j donnent

" Soit x = — 7, il résulte, respectivement, pour m = 2/1.

()" En dernier lieu, posons x = — ^ -, m = a/i, nous aurons

RemaïquonS en passant que l'on peut déduire phisieurs des forlulcs précédentes et quelques autres du nième «i;enre à l'aide des

174 DEIMÈMI': PAHTIE. - I.KS NOMIUUo l)K UKUNOILI.I KT l)"i;il.i;».

formules (6) el (7) du paragraphe XIX, savoir

'ni "" 2à

^(-^ynu-si-

A cet effet, posons — x — 1 au lieu de //, nous aurons sans peine

' ' n\i '" Âd (as -(- 1)! '

ce ([ui nous conduira aux formules susdits, si nous iulioduisons des valeurs particullèi^es de r. (^ispeudiinl, nous ne nous arrêtons pas ici à ces formules.