XLIII. — Développement d'un polynôme entier
Les formules récursives que nous venons de développer pour le calcul successif des B,,, T„, E„ sont complètes, abstraction faite d'une seule, savoir la formule (3i) du paragraphe XXVIIl, par(;e qu'elles eonliennent tous les nombres du même genre aux indices inférieurs.
Déjà, en 182^, Andréas von Ettingshausen a découvert une formule récursive incomplète qui ne contient que les nombres
ou /> = — , yj = — ; — , selon que 11 est suppose pair ou impair. L- est
pourquoi nous désignons comme formules récursives incomplètes de première espèce des formules récursives qui ne contiennent pas les premiers des nombres de BernouUi, des coeflicients des tangentes et des nombres d'Euler.
Quoique les deux formules générales (9) et (10) du paragraphe X-XVII soient, pour <jf = o, respectivement ^ < n, des formules incomplètes de première espèce, il nous semble plus avantageux d'éludier le polynôme entier
où j? et a sont des variables complexes quelconques, tandis que n el p sont des entiers non négatifs. En efl'et, nous trouvons de cette manière, d'un seul coup, des généralisations très étendues des formules connues de ce genre, et beaucoup d'autres. Appliquons l'identité évidente
/(a;) = ( j7 -f- oi)"[(a- -+- a) 4- (1 — '.a )]/',
l8o DKL'MlhlK PAUTIK. — I.KS NOMBKKS I)K BERNOtl.l.l KT DEUM'H.
il résulte, en vertu de la l'ornuile hinomiale,
el cette autre identité
donnera de même
Gela posé, les expressions ainsi obtenues pour f(x) ±f(x — i) donnent immédiatement ces deux développements
(■>) f{x) = K„,„(a) 4- 2 (^^ J (n + /; - 5) ! ( I - -.y.y H„+;,-,+, (x^ol)
où le terme K„,^(a) qui figure an second membre de (2) est indépendanl de la variable x.
Quant à la détermination de la valeur de K„,p(a), cherchons les dérivées des deux membres de (2), il résulte
(4) /;(^)= ^(^^^j(n-^p-sy.{i--iuyBn+p-,(x + o^}
,? = rt -2 ^~ '^' ( s ) ^''-^P -s)l(i-o.aiy nn+i,-s(cr + a),
tandis que nous aurons, en vertu de (1),
(5) f'{x) = n(x -h ayi-i ( X -h i ~ (x)P -h p(x -}- ay' (x -^ i — 7.)i>'K
CHAI». IX. — KORMUI.KS INfiOMPLKTES DK PREMIEUE ESPECE. Ihl
Développons ensuite, en verlii de (i), les deux fonctions (pii li<;urent au second membre de (5), nous trouvons précisément tous les termes qui figurent au second membre de \^ \ i, ce qui donncia évidemment
OU, ce qui est la même chose.
( <'>l-à-dire que nous aurons généralement
' '' '(rt-H/?)! '
Appliquons maintenant l'identité évidente
( > -h a i'" (ar -f- a — i)'" (:r4-a)"' ^ ( — i)-^( i — •>.ix)--(a? — a )'"-"" m ! in\ m ! j^ s\{m — 5)1
car les deux meuibres de cette foi'uuile sont des éléments de deux suites harmoniques.
Multiplions ensuite par //il les deux uiembres de (7), il est évident que la formule ainsi obtenue peut être déduite de (2) en y |)Osanl // = o, Il = ///, de sorte que nous aurons
\^mAy- • = -—
•e rpii donnera, en vertu de (6), l'expression générale
81 K„„(ai= '■ ^11 — 7'/.)'+/ + '.
Soit ensuite 7 </*-+-/> wn positif enlier. on aura, en vcrlu
l8.>. DEUXIÈME PARTIE. — LES NOMIIRES DE BEnNOt'LI.I ET UEll.EK.
de (3),
(9) Dj[(ar.4-a)"(^ + i~a)/']
= V /^ Wrt+/? — 5)!(i — 'Aa/ li„+/,,/.,(a-4-a)
où il faut supprimer les termes contenant les fonctions d'Euler à indice négatif. Il est évident du reste que la formule (3) est un cas particulier de (9), correspondant à l' hypothèse q := o. La formule (2) donnera de même
(10) DX^'[fa7 — a)«(a7 + i — a)/'j
.■i = p = ^ (^g) (J^ -^ P — ^ )Hi — ■>'^-)' H„+/,,/.,(a? + a) .« = 0
ù il faut supprimer les termes qui correspondent à des fonctions
de Bernoulli à indice négatif.
Dans ce cas il est évident que la formule (2) n'est pas un cas particulier de (10); c'est-à-dire qu'il faut étudier séparément la formule (2) et l'ensemble des formules (10).
