II. — Formule de Taylor

Sdii

I / ' ) = a,, J-" +- a, J7" ' t- . . . -H rt.,a^" /' -i-. . . -(- a„,x -4- rt„

.'l PREMIERE PARTIE. — DES CLASSES DE POLYNOMES ENTIERS.

un polynôme entier du degré n par rapport à x^ et soit h un nombre quelconque, nous aurons le développement

où nous avons posé pour abréger

(3) l.fu>\x)= 2 {"'~')asX"'P-^ (lûp^n).

De plus, nous posons, à cause de l'uniformité des significations,

(4) /^'>Ux)^f(x).

Quant à la démonstration de la formule (a), il est évident que la puissance hP qui figure dans /{a: -\- li) provient seulement des termes

ao(.r + /t)", a|(.r + /i/'-i, ..., n ,i,,(x -h /i)'\

et la formule binomiale donnera immédiatement, comme coefficient de hP, l'expression qui figure au second membre de (3).

La formule (2) est due à Brook Tajlor ( ' ),

Les poljnomes entiers

définis par la formule (3), sont désignés comme les dérivées des ordres

de /(^), prises par i^apport à x. Dans nos recherches suivantes nous écrirons souvent

J /W')(.r)=D/'/(^r) -!'./;■./( .r), i /(.r) = Doy(.r)=Do./(x).

On trouvera, par exemple, en vertu de (3),

(') Methodus incrementorum direcla et inversa, p. ii-'iô, Londres, 1717-