CHAP. I. — THÉORÈMES KT FORMULES AUXILIAIRES

Soit a uTW constante par rapport à x, la formule binomiale donnera immédiatement, en vertu de (2),

(8j DP(j:-h a)" = n{n - i).. .(n —p -h \){r -ha)" i> (if/'^«);

de [)lus, nous aurons

(9) ^\v['ifir)\^af{T),

(10) D^JXax) =aj-{ax),

où f'{ax) désigne la valeur obtenue de f'{y)i eh j introduisant}' = ax.

Appliquons ensuite, sur /"'^ (j--)- /*)? 1» formule de Tajlor, il" résulte, en vertu de (3),

Gela posé, remarquons que les dérivées d'une constante sont toutes égales à zéro, nous verrons, en vertu de (7), que les dérivées d'un ordre plus élevé que n, prises d'un poljnome entier du degré n, s'évanouiront.

Soit maintenant 'f{x) un poljnome entier du degré p par rapport à X, et soient « et 6 des constantes quelconques, la formule de Taylor, appliquée sur la fonction

af{x) -h h (Dix)

donnera immédiatement

(12) D^' [af{.r) ^ b c?(x)] = af^o'^x) + 6 <?"")(cr),

c'est-à-dire que l'opération D^ est distributive.

Etudions ensuite la fonction J{x) 'f{x), la formule de Taylor donnera

(i3) f(a:-hh)<f(x + /.)^ 2 /|L>i[/(^)?(^)|;

multiplions maintenant la formule (2) par le développement correspondant

h , h"- hi>

^{x -^ h) — '^{x) -\ -o{x)-\ j-^ {x) ■+-. . .-\ j o'/''(ar),

puis cherchons, dans ce produit, le coefficient de la puissance /i'".

il résulte la formule importante •

(•4) iynri-■)^(.r)\ = ^("^)\yi!-^/iT)l^t.o(:r),

qui est un cas spécial d'une formule générale due à Leibnip (^). Soit par exemple m= i, nous aurons, en vertu de (14)5

Appliquons encore l'identité évidente

nous aurons, en vertu de (a),

formule qui est un cas spécial du théorème IV du paragraphe 1, savoir